初中线段相等、比例关系的证明方法.doc

平面几何中线段相等的证明几种方法
平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
一、利用全等三角形的性质证明线段相等
这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理(添加辅助线)，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。求证：AE=BD。
注:如果有两个形状相同的图形（一般是等腰三角形、等边三角形或正方形），那么可能要用到旋转全等或相似
［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。
注：添加辅助线，构造全等三角形
二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等
如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。
如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。求证：AF=EF。
注：辅助线是中线倍长法
［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
三、利用平行四边形的性质证明线段相等
如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。
［例1］如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，
求证：EF=FD。（辅助线是过E作EG⊥AB，连接DG）
注：构造平行四边形
［例2］如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F作EG//AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH//AC，交AB于点H。
求证：HG=BE。
注：构造平行四边形，利用平行线分线段成比例转化
证明：延长AD到A′，使D A′=AD，又∵BD=CD
∴四边形BACA′是平行四边形
∴BA=A′C
由题设可知HFGA也是平行四边形
∴HF=AG
∵HF//AC，∴
又∵，HF=AG，BA=A′C
∴BH=EG
∴四边形BEGH是平行四边形
四、利用中位线证明线段相等
如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。
［例1］如图，以△ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中点。
证明：DM=EM。
注：辅助线取斜边中点
如图所示,△ABC中,中线BD、CE相交于O,F、G分别为OB、OC的中点.
求证：四边形DEFG为平行四边形.
五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。
如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形，并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。
［例］1已知：在△ABC中，M是BC的中点，CE⊥AB，BF⊥AC。
求证：EM＝FM
［例］2如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。
六、利用等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边
如果所证线段在一条直线上相邻，且在一个等腰三角形中，不妨用此法
［例］如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=3，则DF的长为______．
七、线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等
如果两条线段在一个三角形中证明相等，且第三边有垂直或中点，用此法
［例］已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________．
注：1、补充2016年中考解答题第23题第2小问是中垂线的性质
2、三角形三条中垂线交于一点
八、角平分线上任一点到角的两边距离相等
适用于有角平分线和垂直的图形
［例］如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA垂足
为D,若PC=4,则PD=.
注：1、补充2013年省中考解答题第23题第3小问
2、三角形三条角平分线交于一点
九、圆的性质和定理
同圆（或等圆）中半径相等，等弧所对的弦或与弦心距相等的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等，圆垂直于直径的弦被直径分成的两段相等，圆外一点引圆的两条切线的切线长相等
［例］1如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，且AB=：AE=CE.
注：辅助线AC不一定经过O
A
O
B
C
D
E