对数正态分布.docx

在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果 X 是正态分布的随机变量，如此exp(X) 为对数分布；同样，如果 Y 是对数正态分布，如此ln(Y) 为正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，如此这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。 对于 ，对数正态分布的概率分布函数为
其中 与 分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是
方差为
给定期望值与标准差，也可以用这个关系求 与
与几何平均值和几何标准差的关系
对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 ，几何平均差等于 。
如果采样数据来自于对数正态分布，如此几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。
置信区间界
对数空间
几何
3σ 下界
2σ 下界
1σ 下界
1σ 上界
2σ 上界
3σ 上界
其中几何平均数 ，几何标准差
[编辑] 矩
原始矩为：
或者更为一般的矩
[编辑] 局部期望
随机变量 在阈值 上的局部期望定义为
其中 是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为
其中 是标准正态局部的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业与经济领域都有应用。
[编辑] 参数的最大似然估计
为了确定对数正态分布参数 μ 与 σ 的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看
其中用 表示对数正态分布的概率密度函数，用 — 表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：
由于第一项相对于 μ 与 σ 来说是常数，两个对数最大似然函数 与 在同样的 μ 与 σ 处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以与上面的