高等数学 曲线积分PPT课件.pptx

一、对弧长的曲线积分的概念
1．定义
2．物理意义
表示线密度为 的弧段 的质量.
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二、对弧长的曲线积分的性质
1．线性性质：
若 , 则
5. 奇偶对称性：
2．可加性：
3． 的弧长：
4. 单调性：
设在上 ， 则
关于x轴对称，
为y的奇函数
关于x轴对称，
为y的偶函数
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三、对弧长的曲线积分的计算方法
方法：化为定积分计算（注：下限<上限）
（1）参数方程：若 则
（2）直角坐标：若 则
（3）极坐标：若 ; 则
“描述代入”法
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（4）参数方程：若 则
注： 被积函数可用积分曲线方程化简！
四、对弧长的曲线积分的应用
1．几何应用 求曲线的弧长
2．物理应用
质量
质心
转动惯量
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一、对坐标的曲线积分的概念
1．定义
2．物理意义
变力 沿 所作的功.
对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）
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二、对坐标的曲线积分的性质
若 （方向不变），则
设 是 的反向曲线弧，则
2. 方向性：
1．可加性：
3. 奇偶对称性：
关于x轴对称，
为y的偶函数
关于x轴对称，
为y的奇函数
关于y轴对称，
为x的偶函数
关于y轴对称，
为x的奇函数
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三、对坐标的曲线积分的计算方法
（化为定积分计算）
（1）参数方程：
1．直接计算法：
设 从 变到 ; 则
设 ; 从 变到 ; 则
“描述代入”法
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设 从 变到 ; 则
（2）直角坐标：
设 从 变到 ; 则
注: 下限 起点 上限 终点
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3．利用积分与路径无关的条件计算法
与路径无关
─单连域.
—单连域.
2．格林（Green）公式计算法
（注意使用条件！）
（这里 为区域 的正向边界曲线)
，为区域内任意闭曲线.
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四、两类曲线积分之间的联系
其中 为有向曲线弧 在点 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
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