高等数学微分中值定理教学PPT课件.pptx

第一节 微分中值定理
本节主要内容:



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一、罗尔中值定理
费马（Fermat）引理
函数y=f(x)在N(x0, )有定义，
y=f (x0)存在， f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0))
导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点)．
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引理的直观意义: 可导函数极值点处的切线平行于 x 轴.
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（罗尔中值定理）设函数y= f(x)在区间[a,b]上有定义，如果
（1）函数 f (x)在闭区间[a，b]上连续； （2）函数 f (x)在开区间（a，b）内可导； （3）函数 f (x)在区间两端点处的函数值相等，即
f (a)= f (b)；则在（a，b）内至少存在一个点 a< <b，使得f ()=0 .
例如,
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因为函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必能取到最大值 M 和最小值 m ,考虑两种可能的情况：
(1) 若 m=M,则 f(x) 在 [a,b] 上恒等于常数 M(或 m),
因而在 (a,b) 内处处有f (x)=0，
因此可取 (a,b) 内任意一点作为ξ而使得f (ξ)=0成立。
定理的证明
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(2) 若 m<M，因为 f(a)=f(b)，因此m、M 不可能同时是两端点的函数值，即最小值 m 和最大值 M至少有一个在开区间(a,b)内部取得，
不妨设
f (ξ)=M， ξ∈ (a,b).
由条件(2)和费马定理推知 f (ξ)=0.
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罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点 ，在该点处的切线平行于x 轴(如下图）。
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(a,b)内的某一点，定理仅从理论上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取值；
，只要三个条件均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件不全满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看如下例子：
两点说明：
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例
连续
内可导
连续
内可导
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例
连续
内可导
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