初中应用题的解题技巧.pdf

初中应用题的解题技巧.pdf初中应用题的解题技巧
应用问题的解题技巧（三课时）
教学目标：应用问题是中学数学的重要内
容．它与现实生活有一定的联系，它通过量
与量的关系以及图形之间的度量关系，形成
数学问题．应用问题涉及较多的知识面，要
求学生灵活应用所学知识，在具体问题中，
从量的关系分析入手，设定未知数，发现等
量关系列出方程，获得方程的解，并代入原
问题进行验证．这一系列的解题程序，要求
对问题要深入的理解和分析，并进行严密的
推理，因此对发展创造性思维有重要意
义．
重点：解应用问题的技能和技巧．
　　1．直接设未知元
　　在全面透彻地理解问题的基础上，根据
题中求什么就设什么是未知数，或要求几个
量，可直接设出其中一个为未知数，这种设
未知数的方法叫作直接设未知元法．
　　例 1 某校初中一年级举行数学竞赛，参
加的人数是未参加人数的 3 倍，如果该年级
学生减少 6 人，未参加的学生增加 6 人，那
么参加与未参加竞赛的人数之比是 2∶1．求
参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一
年级的人数．
　　分析 本例中要求三个量，即参赛人数、
未参赛人数，以及初中一年级人数．由已知
条件易知，可直接设未参赛人数为 x，那么
参赛人数便是 3x．于是全年级共有(x+3x)人．
　　由已知，全年级人数减少 6 人，即
(x+3x)-6， ①而未参加人数增加 6 人时，则
参加人数是未参加人数的 2 倍，从而总人数
为
　　(x+6)+2(x+6)．②
　　由①，②自然可列出方程．
　　解设未参加的学生有 x 人，则根据分析，
①，②两式应该相等，所以有方程
(x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6，
　　所以
x+6+2x+12=4x-6，
　　所以 3x+18=4x-6，
　　所以 x=24(人)．
　　所以未参加竞赛的学生有 24 人，参加
竞赛的小学生有
3×24=72(人)．
　　全年级有学生
4×24=96(人)．
　　说明 本例若按所求量次序设参加人数
为 x 人，则未参加人数为　　
　　例 2 一工人在定期内要制造出一定数量
的同样零件，若他每天多做
做
多少个零件？
定期是多少天？
分析 若直接设这个工人要做 x 个零件，
定期为 y 天，则他每天做
　　　
　　另一方面，如果他每天少做 5 个，则要
增加 3 天工期，因此，
　　显然，将此两式联立，解出 x，y 即
可．
　　解 设工人要做 x 个零件，定期为 y 天，
则他每天做 x/y 个，依分析有方程组
　　整理得
②×2+①得
　　将 x=50y 代入②得
y=27， x=50y=1350，
　　
　　答工人要做 1350 个零件，定期为 27 天．
　　例 3 一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车
的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了 22 人，
结果剩下 1 人未上车；如果有一辆汽车空着
开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他
各车上．已知每辆汽车最多只能容纳 32 人，
求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？
　　解设起初有汽车 m 辆，开走一辆空车后，
平均每辆车所乘旅客为 n 人．由于 m≥2，n≤
32，依题意有
22m+1=n(m-1)．
　　所以
　　因为 n 为自然数，所以 23/m-1 为整数，
因此
m-1=1，或 m-1=23，
　　即 m=2 或 m=24.
　　当m=2 时，n=45(不合题意，舍去)；当
m=24 时，n=23(符合题意)．
　　所以旅客人数为：
n(m-1)=23×(24-1)=529(人)．
　　答 起初有汽车 24 辆，有乘客 529 人．
　　注意 解方程后所得结果必须代入原题
检验根的合理性，并根据情况做具体讨
论．
　　2．间接设元
如果对某些题目直接设元不易求解，便
可将并不是直接要求的某个量设为未知数，
从而使得问题变得容易解答，我们称这种设
未知数的方法为间接设元法．
　　例 4 若进货价降低 8％，而售出价不变，
那么利润可由目前的 p％增加到(p+10)％，
求 p．
　　分析 本题若直接设未知元为 x，则不易
列方程，为此，可间接设元，设进货价为 x