初中数学-巧添辅助线--解证几何题.pdf

初中数学-巧添辅助线--解证几何题.pdf初中数学-巧添辅助线--解证几
何题
巧添辅助线 解证几何题
[引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加
必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通
过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利
用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条
件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新
问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的
是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。下面
我们分别举例加以说明。
[例题解析]
一、 倍角问题
例 1：如图 1，在△ABC 中，AB=AC,BD⊥AC 于 D。
A
求证：∠DBC= ∠1 BAC.
2 D
分析：∠DBC、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠B C
C，可利用
三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC 和∠
C 的关系。
证法一：∵在△ABC 中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C= （1 180 °-∠BAC）=90°- ∠1
2 2
BAC。
∵BD⊥AC 于 D ∴∠BDC=90 °
2
∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°- ∠1 BAC)=
2
1 ∠BAC
2
即∠DBC= ∠1 BAC
2
分析二：∠DBC、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三
角形中，由所证的结论“∠DBC=½∠BAC”中含有角的
倍、半关系，因此，可以做∠A 的平分线，利用等腰
三角形三线合一的性质，把½∠A 放在直角三角形中求
解；也可以把∠DBC 沿 BD 翻折构造 2∠DBC 求解。
证法二：如图 2，作 AE⊥BC 于 E，则∠EAC+A∠C=90
°
D
1
∵AB=AC ∴∠EAG= ∠BAC B C
2 E
∵BD⊥AC 于 D
∴∠DBC+∠C=90°
∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）
即∠DBC= ∠1 BAC。
2
证法三：如图 3，在 AD 上取一点 E，使 DE=CD
连接 BE A
∵BD⊥AC E
D
∴BD 是线段 CE 的垂直平分线
B C
∴BC=BE ∴∠BEC=∠C
3
∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
∴∠BAC=180°-2∠C
∴∠EBC=∠BAC
∴∠DBC= ∠1 BAC
2
说明：例 1 也可以取 BC 中点为 E，连接 DE，
利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三
角形的性质求解。同学们不妨试一试。
例 2、如图 4，在△ABC 中，∠A=2∠B
求证：BC2=AC2+AC•AB
分析：由 BC 2=AC2+AC•AB= AC（AC+AB），启发我
们