空间几何体的内切球与外接球问题.doc

空间几何体的内切球与外接球问题
空间几何体的内切球与外接球问题
1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．12π C．8π D．4π
[解析]A　因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为2，所以正方体的外接球的半径为，所以球的表面积为4π·()2＝12π.
2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC ­ A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)
A．4π B. C．6π D.
[解析]B　当球与三侧面相切时，设球的半径为r1，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴8－r1＋6－r1＝10，解得r1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r2，则2r2＝3，即r2＝.∴球的最大半径为，故V的最大值为π×＝π.
3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD中，
∠CBA＝120°，AD＝4，对角线BD＝2，将其沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为________．
答案：π；解析：因为∠CBA＝120°，所以∠DAB＝60°，在三角形ABD中，由余弦定理得(2)2＝42＋AB2－2×4·AB·cos 60°，解得AB＝2，所以AB⊥⊥平面BCD，即有AB⊥平面BCD，如图所示，可知A，B，C，D可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC就是四面体ABCD外接球的直径，易知AC＝＝2，
所以球的体积为π.
4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S­ABC的体积的最大值为(　　)
A. B. C．2 D．4
选A；[解析] (1)由于平面SAB⊥平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球的对称性可知，当S在“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥S­ABC的体积最大．
因为△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r＝OC＝CH＝××2＝.
在Rt△SHO中，OH＝OC＝，
所以SH＝＝1，
故所求体积的最大值为××22×1＝.
5.[2016·赣州模拟] 如图7­38­19所示，设A，B，C，D为球O上四点，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝，若AD＝R(R为球O的半径)，则球O的表面积为(　　)
7．[2016·福建泉州质检] 已知A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，且点O到平面ABC的距离为2，则球O的表面积为________．
答案：20π　[解析] 在△ABC中用余弦定理求得AC＝，据勾股定理得∠BAC为直角，故BC的中点O1即为△ABC所在小圆的圆心，则OO1⊥平面ABC，在直角三角形OO1B中可求得球的半径r＝，则球O的表面积S＝4πr2＝20π.
8. [2016·河南中原名校一联] 如图K38­16所示，ABCD­A1B1C1D1是边长为1的正方体，S­ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)
图K38­16

选D；[解析] 如图所示作辅助线，易知球心O在SG1上，设OG1＝x，则OB1＝SO＝2－x，同时由正方体的性质知B1G1＝，则在Rt△OB
1G1中，由勾股定理得OB＝G1B＋OG，即(2－x)2＝x2＋，解得x＝，所以球的半径R＝2－＝，所以球的表面积S＝4πR2＝π.
9．[2013·课标全放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．
BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，
由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，
所以球的体积为π×53＝π(cm3)，故选A项．
答案：A
10．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为(　　)
A．12π　　　B．36π　　　C．72π　　　D．108π
选B；解析：