代数式的求值技巧.doc

代数式的求值
技术1、利用分类讨论方法
例1已知＝7，＝12，求代数式x+y的值.
分析　先利用绝对值的意义，求出字母x和y的值，再分情况讨论求值.
解　因为＝7，＝12，所以x＝±7，y＝±12.
所以当x＝7，y＝12时，原式＝19；
当x＝－7，y＝－12时，原式＝－19；
当x＝7，y＝－12时，原式＝－5；
当x＝－7，y＝12时，原式＝5.
所以代数式x+y的值±19、±5.
技术2、利用数形结合的思想方法
例1有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：试试代数式│a+b│－│b－1│－│a－c│－│1－c│的值.
分析　由于只知道有理数a，b，c在数轴上的位置，要想直接分别求出有理数a，b，c是不可能的，但是，我们可以利用数形结合的思想方法，从数轴上发现有理数a，b，c的符号，还可以准确地判定a+b、b－1、a－c、1－c的符号，这样就可以化去代数式中的绝对值的符号.
解　由图可知，a+b＜0，b－1＜0，a－c＜0，1－c＞0，
所以│a+b│－│b－1│－│a－c│－│1－c│＝－a－b－1+b－c+a－1+c＝－2.
技术3、利用非负数的性质
例1已知(a－3)2+│－b+5│+│c－2│＝+b+c的值.
分析　在等式(a－3)2+│－b+5│+│c－2│＝0中有三个字母，要想分别求其值，可以利用平方和绝对值的非负性求解.
解　因为(a－3)2+│－b+5│+│c－2│＝0，又(a－3)2≥0，│－b+5│≥0，│c－2│≥0.
所以a－3＝0，－b+5＝0，c－2＝0，即a＝3，b＝5，c＝2，
所以当a＝3，b＝5，c＝2时，原式＝2×3+5+2＝13.
例2 若实数a、b满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求之值。
[解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1
=(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2)
=(ab-1)2+(a-b)2
则有(ab-1)2+(a-b)2=0
∴
解得
当a=1，b=1时，=1+1=2
当a=-1，b=-1时，=1+1=2
技术4、利用新定义
例1　用“★”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a★b＝b2+，7★4＝42+1＝17，那么5★3＝＿＿＿；当m为实数时，m★(m★2)＝＿＿＿.
分析　由新定义的意义可知，运算的结果等于后一个数的平方加1，对于第二个小填空题，只要先做括号里即可.
解　因为a★b＝b2+1，所以5★3＝32+1＝10；m★(m★2)＝m★(22+1)＝m★5＝52+1＝、26.
技术5、利用整数的意义
例1　四个互不相等的整数a、b、c、d，如果abcd＝9，那么a+b+c+d＝（ ）
　　　　　　　　　　　
分析　抓住a、b、c、d是四个互不相等的整数，且abcd＝9，进行必要的推理，分别求出a、b、c、d的值，即可求解.
解　因为a、b、c、d是四个互不相等的整数，且abcd＝9，所以a、b、c、d只可以是+1、－1、+3、－3中的一个数，
所以a+b+c+d＝.
技术6、巧用变形降次
例1　已知x2－x－1＝0，试求代数式－x3+2x+2008的值.
分析　考虑待求式有3次方，而已知则可变形为x2＝x+1，这样由乘法的分配律可将x3写成x2x＝x(x+1)＝x2+x，这样就可以将3次降为2降，再进一步变形即可求解.
解　因为x2－x－1＝0，所以x2＝x+1，
所以－x3+2x+2008＝－x2x+2x+2008
＝－x(x+1)+2x+2008
＝－x2－x+2x+2008
＝－x2+x+2008
＝－(x2－x－1)+2007
＝2007.

当单个字母的取值未知的情况下，可借助“整体代入”求代数式的值。
【例1】（1）已知的值.
（2）已知的值.
解析：求代数式的值，一般直接将字母的具体值代入，但该题都无具体的值，一般采用整体代入法，观察已知与所求，进行对比分析，通过共同点与不同点来寻找解题方法.
解：（1）原式=3（）-3=3×2-3=3.
（2）原式=
方法技巧：整式化的思想，在解题中，有时起到化难为易，化繁为简的作用.
【例2】当abc=1时，求的值.
解析：当abc=1时，原式
方法技巧：分析代数式的特点，寻找解题问题的突破口.
【例3】已知a+b+c=0,求代数式的值.
解析：因为a+b+c=0,而代数式中没有a+b+；也可以变形为b+c= -
解法1：当a+b+c=0时，原式