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不等式恒成立求参数的取值范围
武汉市第四十九中学 李清华
邮政编码； 430080
教学目标
、 知识目标； 掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用
、 能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力
、 情感目标；优化学生的思维品质
教学重难点
、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用
2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择
教学方法： 高三复习探究课： 学生研讨探究 学生归纳小结 学生巩
固练习 学生变式探究 --- 学生总结
教学过程
、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题， 涉及到函数的性质、 图象 , 渗
透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题
能力， 因此备受命题者的青睐， 也成为历年高考的一个热点。 我们今天这堂课来
研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题
、 新 课 下 面 我 们 来 看 例 1 例 1 、 对 一 切 实 数 x [ 1,1] ， 不 等 式
2
x (a 4)x 4 2a >0恒成立，求实数a的取值范围(由学生完成)
由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法
解法一；分离参数 由原不等式可得： a(x-2) > -x 2+4x-4 ，
又因为x€[-1 , 1]
,x-2 C [-3 , -1] a<2-x
又因为xC[-1 , 1],所以a<1.
解法二；分类讨论、解不等式
( x-2 ) [x-(2-a)]>0
当 a=0 时 不等式恒成立
当 a<0 时 x>2-a 或 x<2 不等式恒成立
当 a>0 时 x>2 或 x<2-a 所以 2-a>1 即 a<1
所以 a<1 时不等式恒成立
解法三；构造函数求最值
设 f(x)=x 2+(a-4)x+4-2a
当(4-a)/2 € [-1 , 1],即 aC[2, 6]时
-a2<0 不成立，舍弃；
当 a>6 时， f(-1)=1-a+4+4-2a>0
a<3 不成立，舍弃；
当 a<2 时， f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1
综上得： a<1
解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布
设 x2+(a-4)x+4-2a=0
方程无实根或有两实根两根小于 -1 或两根大于 1
公(a-4) 2-4(4-2a)=a 2 >0
所以 1-(a-4)+4-2a>0 且 (4-a)/2<-1 或 1+(a-4)+4-2a>0
且 (4-a)/2>16 且 a<3 或 a<1 且 a<2, 所以 a<1
解法五；数形结合(用动画来演示
a(x-2)>-x 2+4x-4 设 y=a(x-2) 和 y=-x 2 +4x-4
分别作两函数的图象 当xC［-1 , 1］时，总有y=a(x-2)的图象
在y=-x 2+4x-4 图象的上方
由图象可得a<1
归纳总结(由老师板书)
1、如果作图较易，也可用数形结合。2、分离参数；转化为f(x)&a或f(x) > a(x
CD)
(x) max (x € D) <a;或fmin (x) >a3、解不等式利用集合间子集
关系。4、分类讨论
5、构造函数求最值