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排列组合精选试题讲解
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
组合
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二. 教学目的
1. 掌握组合的概念及组合数的概念、公式及应用;
2. 归纳排列与组合的综合题型,掌握这些题型的处理方法
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三. 教学重点、难点
掌握及区分排列与组合的概念,组合数的实际意义;排列、组合综合题
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四. 知识分析
? 1. 组合定义及其理解
(1)组合定义:一般地,从n个不同元素中任意取出m(0≤m≤n)个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)理解组合定义必须注意的几个问题:
①如果两个组合中的元素完全相同,不管它们的顺序如何,都是相同的组合.
②当两个组合中的元素不完全相同,就是不同的组合.
③排列与组合问题共同点是“从n个不同元素中任意取出m (m≤n)个元素”,不同点是前者要“按照一定的顺序排成一列”,而后者是“不管顺序并成一组”
④区分某一问题是排列问题还是组合问题,,则是排列问题,否则,,组合问题与选取元素的顺序无关.
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2. 组合数及组合数公式
从n个不同元素中,任意取出m (m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号(bination(组合)的第一个字母)表示.
一般地,从n个不同元素中,任取m个元素的排列,可以分两步完成:
第一步选取元素从n个不同元素中,任取m个元素的组合,有种方法;
第二步排位置选出的m个不同元素的全排列,有种方法.
根据分步乘法计数原理,得
这个公式不仅揭示了组合数与排列数之间的关系,也表明解某些排列问题时,常常分选元素和排位置两个步骤完成.
由于计算公式和
得出组合数计算公式为
。①
。②
在组合数计算公式②中,当时,由于,故。
当时,组合数公式仍有意义,将代入组合数计算公式②中,得。
组合数公式的连乘积和阶乘形式,.
组合数有两个性质:(1)
(2)
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3. 排列数与组合数的计算方法
①解计算(或化简)题时,主要依据排列数与组合数公式及其变形,在计算过程中要注意阶乘的运算、组合数性质的使用和提取公因式等方法.
②含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解,利用这点可以根据题目的条件将方程及时化简.
③证明时可利用排列数公式与组合数公式的阶乘表示形式和组合数性质,要注意阶乘的运算和技巧,如拆项.
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? 4. 解排列、组合的应用题,要注意以下几点:
①仔细审题,看元素有无顺序,从而判断是组合问题还是排列间题;要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步;
②对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题,要注意从不同的角度来分析问题,从元素还是位置入手,正难则反.
③对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题,要周密分析,合理分类,不重不漏,先选后排还是边选边排必须思路清晰.
④掌握重点题型的解题策略。
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5. 解排列组合题的“16字方针,12个技巧”。
(1)“十六字”方针是解排列组合题的基本规律,即分类相加、分步相