余弦定理教学设计经典.doc

余弦定理教学设计经典
．2余弦定理教学设计
一、教学目标
认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形；
能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；
情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。
二、教学重难点
重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。
难点：利用向量法证明余弦定理的思路；对余弦定理的熟练应用。
探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。学生已经具备了勾股定理的知识，即当∠C=900时，有c2=a2+b2。作为一般的情况，当∠C≠900时，三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点拨、启发，鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加强学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，激发学生学习兴趣，这是本节课教学的重点，也是难点。
三、学情分析和教学内容分析
本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机
通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时，学生可能会遇到证明思路上的困难，教师可以适当的点拨。
四、教学过程
环节一 【创设情境】
1、复习引入
让学生回答正弦定理的内容和能用这个定理解决哪些类型的问题。
A
B
2、情景引入
如图1，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。
C
学生不难将这个实际问题转化到数学问题：
已知三角形的两边和一个夹角，去求三角形的另外一边。这个问题是不能使用正弦定理来求解的。学生急切的希望应用新知识来解决这个问题。
图1
环节二 【导入新课】
问题：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a，b边的长短不变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请同学们思考。
教师鼓励学生积极思考，大胆发言，启发学生解决问题，学生回答，借助于多媒体动画演示结果。
如图2，若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c2＜a2+b2．
C
B
A
B’
图2
A
C
B’
B
图3
　
　
如图3，若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变长，即c2＞a2+b2．
经过议论学生已得到当∠C≠90°时，c2≠a2+b2。
环节三 【新课探究】
探究1、在上一个问题中，我们已经知道，当∠C≠90°时，c2≠a2+b2。那么c2与a2+b2到底有什么等量关系呢？请同学们继续探究。
教师引导学生分组合作学习，可让几个小组的学生研究当∠C为锐角时的结论，另外的小组研究当∠C为钝角时的结论。最后交流探索，展示成果。
如图4，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：

A
C
B
D
图4
　　
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；
在Rt△BDC中，BD=BC·sinC=asinC，DC=BC·cosC=acosC．
所以，AB2=AD2+BD2化为
　　c2=(b－acosC)2+(asinC)2，
　　c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，
　　c2=a2+b2－2abcosC．
　　可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC的关系。
　　　　如图5，当∠C为钝角时，作BD⊥AC，交AC的延长线于D。
B
A
D
C
图5
　　△ACB是两个直