外接球内切球问题答案.docx

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结
合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题 ^
球与正方体
如图1所示，正方体加CQ-4与弓。1，设正方体的棱长为人
瓦仃为棱的中点，。为球的球心,常见组合方式有三类；一是球 为正方体的内切球，截面图为正方形E尸乃和其内切圆，则 pj|二尸二三；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形£胃出 和 其外接圆，则|8| 二氏=在白；三是球为正方体的外接球，截面图为 1 1 2
长方形月C4G和其外接圆，则出。［R = ¥人通过这三种类型可以
发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通 过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 例1 棱长为1的正方体ABCD - AB1clD1的8个顶点都在球。的表面上，E, F分别是棱AA1 , DD1的
中点，则直线EF被球O截得的线段长为（
，苣门c. 1号
d. V2
解，由题意可知，球为正方体的外接球,平面网口劣截面所得圆面的半径
R = 晅1 =3，・・・EF c面4直线E尸被球。截得的线段为球的截面圆的直径2R =瓢. 2 2
球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，
棱长为a,b,c,其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正
l a2b2 c2
方体的外接球的道理是一样的，故球的半径 R =' = Xa一b一J. 2 2
例2在长、宽、高分别为 2, 2, 4的长方体内有一个半径为 1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空
间部分的体积为（） ^
解：利用运动的观点分析在小球移动的过程中， ：半个小球、高为2的圆柱和半个小球，三部分的体积为： 生xf父工冢2十7rxI2 x2=—jt.
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球与正棱柱
球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多,下面以正三棱柱 为例，
的高为人底面边长为口，如图z所示，。和q分别为
，球心心落在高的中点。，
OE)上,AO = R,AD=叵丸借助直角三角形AOD的勾股定理，可 2 3
例3正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的各顶点都在半径为 R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值,
解士如图3,。, 则K =设正四棱柱的侧棱长为屋底面边长为〃，则 工C = 42a tAE = —atOE =々必=(立1尸 +(-)2,
二4炉=21 +乩则正四棱柱的恻面积二
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£=4就二色 2a 每 X 03 + 2") =
故侧面积有最大值，为4④炉，当且仅当厘二行6时等号成立.
2球与锥体
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种 形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然