三、全概率公式与贝叶斯公式
例6 某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据以往经验,,,假设第1、2车间生产的成品比例为2:3.
(1)在仓库中随机地取一件成品,求它是次品的概率;
(2)在仓库中随机地取一只成品,若已知取到的是次品,问该此次品分别是由第1,2车间生产的概率为多少?
从而
于是
解(1)
记
因为
(2)问题归结为计算和
由条件概率的定义及乘法公式,有
定义2: 样本空间的一个划分
2
1
有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球, 2号装有 3 红 1 黑球,3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐,在从中任意取出一球,求取得红球的概率.
3
引例:
如何求取得红球的概率???
定理2(全概率公式)
则
设试验E的样本空间为
图示
证明
化整为零
各个击破
它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.
例7 ,该时期内利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40% .根据经验,在利率下调时某支股票上涨的概率为80%,在利率不变时,这支股票上涨的概率为40%.求这支股票上涨的概率.
解
故由全概率公式
某一事件A的发生有各种可能的原因Bi(i=1,2,…,n),如果A是由原因Bi所引起,则A发生的概率是
每一原因Bi都可能导致A发生,故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和,即全概率公式.
我们还可以从另一个角度去理解全概率公式:
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