抽象函数的对称性.docx

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像 ，只给出一些函数 符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定 的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接 点，由丁抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难， 所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、 丰富的想象力以及函数知识 灵活运用的能力
1、周期函数的定义：
对于f(x)定义域的每一个x,都存在非零常数 T ,使得f(x T) f (x )恒成立，则
0 )也是f (x)的周
称函数f (x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，贝U kT ( k Z，k
期，所有周期中的最小正数叫
f (x)的最小正周期。
分段函数的周期：设y
f(x)是周期函数，在任意一个周期的图像为
C：y f (x)，
x a，b，T b a。把 y
(2)轴对称：对称轴方程为:
Ax By C 0。
f (x)沿x轴平移KT K(b a)个单位即按向量
a (kT，0)平移，即得y f(x)在其他周期的图像:
y
f (x kT)，x kT a，kT
b
…f(x)
x
a，b
f (x)
f (x kT)
x
kT
a，kT b
2、奇偶函数：
设 y f (x)，x a，b 或x
b， a
a，b
①若f ( x) f(x)，则称y
f(x)为奇函数;
②若f ( x) f (x)则称y f (x)为偶函数。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性：
(1)中心对称即点对称：
点A(x，y)与B(2a x，2b y)关于点(a，b)对称；
点A(a x，b y)与B(a x，b y)关于(a，b)对称；
函数y f(x)与2b y f (2a x)关于点(a，b)成中心对称；
函数b y f (a x)与b y f (a x)关于点(a，b)成中心对称;
函数F (x，y) 0与F(2a x，2b y) 0关于点(a，b)成中心对称。
/ / 2A(Ax By C) 2B(Ax By C)、.工
①点A(x, y)与B(x , y ) B(x ——予一茅——,y ——无一寥——)美丁
A B A B
直线Ax By C 0成轴对称;
函数 y f(x)与y 2B(A2 气 C) f(x 2A(Ax2 B% ③ 线
A2 B2 A2 B2
Ax By C 0成轴对称。
2A(Ax By C) 2B(Ax By C)、
F(x, y) 0与F(x —J\,y 一J一\) 0美丁直线
A2 B2 A2 B2
Ax By C 0成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论
函数y f (x)图象本身的对称性(自身对称)
若 f (x a) f (x b)，则 f(x)具有周期性；若 f (a x) f(b x)，则 f (x)
具有对称性：“同表示周期性，反表示对称性”。
1、 f(a x) f (b x) y f(x)图象关于直线 x (a x) ?(b x) 对称
推论1 : f (a x) f (a x) y f (x)的图象关于直线x a对称
推论2、f (x) f (2a x) y f (x)的图象关于直线 x a对称
推论3、f ( x) f (2a x) y f (x)的图象关于直线x a对称
- - - ,. 一」、... a b •一,
2、 f (a x) f (b x) 2c y f (x)的图象关于点( ,c)对称
2
推论1、f (a x) f (a x) 2b y f (x)的图象关于点(a,b)对称
推论2、f (x) f (2a x) 2b y f (x)的图象关于点(a,b)对称
推论3、f ( x) f (2a x) 2b y f (x)的图象关于点(a,b)对称
两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)
1、偶函数y f (x)与y f ( x)图象关于Y轴对称
2、 奇函数y f (x)与y f ( x)图象关于原点对称函数
3、 函数y f (x)与y f (x)图象关于X轴对称
4、 互为反函数y f (x)与函数y f 1(x)图象关于直线y x对称
. b a ，〜
5、 函数y f (a x)与y f (b x)图象美于直线x —— 对称
推论1:函数y f (a x)与y f (a x)图象关于直线x 0对称
推论2:函数y f(x)与y f