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排列组合排列与组合全集( 精讲) 目录[ 隐藏] 概述原理及应用[ 编辑本段] 概述亲爱的朋友: 进入高二, 相信你已接触排列与组合了, 作为高中的重点, 一直也是个难点! 近几年来,高考一直未涉及这方面的题,尤其 09 高考山东一个没考,但几乎所有的老师都预测 10 年高考一定考,而百科中又很少啊!下面我就细讲一下,希望觉得好就顶一下啊!嘻嘻! 1 .排列及计算公式从n 个不同元素中, 任取 m(m ≤ n) 个元素按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出 m(m ≤ n) 个元素的所有排列的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 p(n,m) 表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2) ……(n-m+1)= n!/(n-m)!( 规定 0!=1). 2 .组合及计算公式从n 个不同元素中, 任取 m(m ≤ n) 个元素并成一组, 叫做从 n个不同元素中取出m 个元素的一个组合;从n 个不同元素中取出 m(m ≤ n) 个元素的所有组合的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数. 用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!) ; c(n,m)=c(n,n-m); 3 .其他排列与组合公式从n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数= p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成 k类, 每类的个数分别是 n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素, 每类的个数无限, 从中取出 m 个元素的组合数为 c(m+k-1,m). [ 编辑本段] 原理及应用两个基本计数原理及应用(1) 加法原理和分类计数法 1 .加法原理 2 .加法原理的集合形式 3 .分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务; 两类不同办法中的具体方法, 互不相同( 即分类不重); 完成此任务的任何一种方法, 都属于某一类( 即分类不漏) (2) 乘法原理和分步计数法 1 .乘法原理 2 .合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务, 必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务; 各步计数相互独立; 只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同如果你还有点疑惑!我就讲点例题(很经典的) [ 例题分析] 排列组合思维方法选讲 1 .首先明确任务的意义例 、2、3、……、 20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不同等差数列有________ 个。分析: 首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设 a,b,c 成等差, ∴ 2b=a+c, 可知 b由 a,c 决定, 又∵ 2b 是偶数, ∴ a,c 同奇或同偶,即:从 1,3,5, ……, 19或2,4,6,8, ……, 20 这十个数中选出两个数进行排列, 由此就可确定等差数列,因而本题为 2=180 。例 2. 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道, 街道之间的间距相同,如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从M到N 有多少种不同的走法? 分析:对实际背景的分析可以逐层深入(一)从 M到N 必须向上走三步,向右走五步,共走八步。(二)每一步是向上还是向右,决定了不同的走法。(三)事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右。从而, 任务可叙述为: 从八个步骤中选出哪三步是向上走, 就可以确定走法数, ∴本题答案为: =56 。 2 .注意加法原理与乘法原理的特点,分析是分类还是分步,是排列还是组合例3. 在一块并排的 10 垄田地中, 选择二垄分别种植 A,B 两种作物,每种种植一垄,为有利于作物生长,要求 A,B 两种作物的间隔不少于 6 垄,不同的选法共有______ 种。分析:条件中“要求 A、B 两种作物的间隔不少于 6垄”这个条件不容易用一个包含排列数, 组合数的式子表示, 因而采取分类的方法。第一类: A 在第一垄, B有3 种选择; 第二类: A 在第二垄, B有2 种选择; 第三类: A 在第三垄, B 有一种选择, 同理 A、B 位置互换,共 12 种。 双不同颜色的手套中任取 4只, 其中恰好有一双同色的取法有________ 。(A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析:显然本题应分步解决。(一)从 6 双中选出一双同色的手套,有种方法; (二)从剩下的十只手套中任选一只,有种方法。(三)从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只,有种方法; (四) 由于选取与顺序无关, 因而(二)(三) 中的选法重复一次,因而共 240 种。例5.