AHP(层次分析法)示例说明.doc

AHP(层次分析法)示例说明
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AHP(层次分析法)示例说明
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第一单元 层次分析法——AHP简介
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第一单元 层次分析法——AHP简介
此，可按此对排序。
如果对矩阵A有一个小的扰动，即不再是真实重量的比值，这时显然A不满足一致性条件，此时A的最大特征根不再是n；因扰动很小，自然离n不远，这时对应的特征向量虽然不会是n个物体的真实重量，但是，变动也不会太大。我们设想：如果扰动不大，则离n就不远，此时对应的特征向量与差不多，如果不改变g的各分量的大小次序，则同样给出n个物体按重量大小的真实排序。
这样，对不满足一致性的正互反矩阵，我们求其最大特征根，再求与对应的特征向量g，则可按g对n个物体按重量大小排序。但是，这一番理论有几个疑点：①当A不满足一致性时，A还有没有最大正的特征根；②既使A有最大特征根，那么，这个最大特征根对应的特征向量的全部分量能否还是正数（重量不可能为负数）？这两个问题可以用矩阵代数中Perro—Frobineus定理回答。
Perro-Frobineus定理：
正矩阵存在重数为1重的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根，该正特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成，经“归一化”处理后该特征向量是惟一的。（）
Perron定理明白地告诉我们，对正互反矩阵A，既使它不满足一致性，也一定存在最大正的实特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，并且
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第一单元 层次分析法——AHP简介
“归一化”后是惟一的。但是，我们能否按这个“归一化”后是惟一的特征向量对n个物体按重量大小排序呢？或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A的最大特征根=n对应的特征向量的各分量间大小的排序呢？这个问题太难了，人们简直难于正面明确地回答，而只能给出一个并不是十分令人满意的简接回答。那就是对判断矩阵的一致性满意程度进行检验：
我们说过，由于对A不大的扰动，最大特征根离n不应太远，所以一致性检验自然与n有关。我们可以证明：只要A的一致性不被满足，那么A的最大特征根一定比n大，即–n>0。（对于正互反矩阵最大特征根随扰动的变大而变大的证明没有找到，忘补充）
令
显然，我们希望尽量小；但是，小到什么程度，才能使与n对应的特征向量“归一化”后各分量大小次序不被破坏呢？这仍是一个非常非常困难的问题，可以说，人们难以正面回答这个问题。为此，AHP发明者Saaty给出了平均一致性检验值。我们重复1000次，对随机判断矩阵A的最大特征根进行计算后求取算术平均值得到如下平均随机一致性检验指标如下：
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阶数
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0













令
当时，认为判断矩阵A的一致性是可以被接受的。亦即当时，就是说，，认为判断矩阵的一致性是可以被接受的。言外之意：此时的A的对应的特征向量“归一化”后，能给出n个物体按重量大小的真实排序。明显看出这个回答不是正面的，也有些令人难以置信。但是，这已是目前为止最好的回答了，这也是AHP理论上不够严谨的问题。不过，从应用角度讲，.<，排序的正确性已为所有应用例子所证实。但是，.>，AHP不再适用，这时，只能回头考虑，变更递阶层次结构，或对判断矩阵A重新赋值。
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AHP基本步骤
用AHP解决问题，有四个步骤：
1. 建立问题的递阶层次结构；
2. 构造两两比较判断矩阵；
3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重；
4. 计算各层元素组合权重，并进行一致性检验。
下面通过一个应用实例说明AHP的每个步骤的实施。
例：某闹市区一商场附近交通拥挤。目标G：改善该街区交通环境。有三种方案可供选择：：修天桥或修高架桥；：修地道；：商场搬迁。
选择方案的准则有5个：：通车能力；：方便市