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第一章集合论 1 .用列举法表示下列集合(1) 偶数类集合: A={2,4,6, …} (2)1 至 200 的整数中完全平方数集合 A={1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196} (3)1 至 100 的整数中完全立方书集合 A={1,8,27,64} (4) 非负整数集合 A={0,1,2,3, …} (5)24 的素因子集合 A={2,3} (6) 英文字母集合 A={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,A,B,C,D,E,F,G,H,I, J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z} 2. 用描述法表示下列集合(1 )平面直角坐标系的单位圆内的点积 A={(x,y)|x Λ 2+y Λ 2<=1} (2) 正切为 1 的角集 A={x|tanx=1} (3) 八进制数字集合 A={x|0<=x<=7 且x 属于 Z} (4)x Λ 2+y Λ 2=z Λ2 的非负整数解集 A={(x,y)|x Λ 2+y Λ 2=z Λ2且 x>=0 且 y>=0} (5)x Λ 2+5x+6=0 的解集 A={x|x Λ 2+5x+6=0} 3. 确定下列的包含和属于关系是否正确(1) ? 包含于? 正确,根据定理 空集是一切集合的子集(2) ? 真包含于? 错误,根据定理 的推论,空集是唯一的(3) ?∈? 错误,根据定义 ,不拥有任何元素的集合称为空集(4) ?∈{?} 正确(5) ? 包含于{?} 正确,根据定理 空集是一切集合的子集(6) ?∈{?}且? 包含于{?} 正确,根据命题公式的合取式(7) {?}∈{?}且? 包含于{?} 错误, 根据命题公式的合取式(8) A 为任何一个集合,则? 包含于 P(A) 且?∈ P(A) 正确,显然第一个命题正确,对于第二个命题: ? 包含于 A-> ?∈ P(A) (9) {a,b} 包含于{a,b,{a,b}} 正确:任意 x,x ∈{a,b}-> x∈{a,b,{a,b}} (10) {a,b} ∈{a,b,{a,b,c}} 错误, 显然(11) {a,b} ∈{a,b,{{a,b}}} 错误,显然 A,B,C 为任意三个集合,下列各命题是否为真,并证明你的结论(1) 若A∈ B,且B 包含于 C则A∈C 此命题为真证明: 对于任意 x,x∈ B-> x∈C 为真,故 A∈B 为真时, A∈C 为真(2) 若A∈ B,且B 包含于 C则A 包含于 C 此命题为假(3) 若A 包含于 B,且B∈C则A∈C 此命题为假(4) 若A 包含于 B,且B∈C则A 包含于 C 此命题为假 5. 试证明属于关系不满足传递性,即对于任意的集合 A,B,C 若A∈B且B∈C 不一定有 A∈C 证明:本题也就是要证明:( 1)A∈B∧B∈C–〉A∈C 不为永真式。那么就任意举一个反例: A={1},B={2,{1}},C={{2,{1}}} 其中 A∈B且B∈C 很显然 AC 故( 1 )式不为永真式命题得证。 6. 列出下列集合的各元子集,并求幂集(1) A={a,b,c} 解: 0 元子集为: ?1 元子集为: {a},{b},{c} 2 元子集为: {a,b},{a,c},{b,c} 3 元子集为: {a,b,c} 所以 A 的幂集: P(A)={ ?, {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} (2) A={1,{2,3}} 解: 0 元子集为: ?1 元子集为: {1},{{2,3}} 2 元子集为: {1,{2,3}} 所以 A 的幂集: P(A)={ ?, {1},{{2,3}},{1,{2,3}}} (3)A={ ? ,{?}} 解: 0 元子集为: ?1 元子集为: {? },{{ ? }} 2 元子集为: {? ,{? }} 所以 A 的幂集: P(A)={ ?,{? },{{ ? }},{ ? ,{ &osl ash; }}} (5) A={{1,2},{1,1,2},{2,1,1,2}} 解: 0 元子集为: ?1 元子集为: {{1,2}},{{1,1,2}},{{2,1,1,2}} 2 元子集为: {{1,2},{1,1,2}},{{1,2},{2,1,1,2}},{{1,1,2},{2,1,1,2}} 3 元子集为: {{1,2},{1,1,2},{2,1,1,2}} 所以 A 的幂集: P(A)={ ?, {{1,2}},{{1,1,2}},{{2,1,1,2}},{{1,2},{1,1,2}} ,{{1,2},{2,1,1,2}},{{1,1,2},