离散数学 谓词逻辑.ppt

Predicates 2017-2-19 1 ?第二章谓词逻辑在第一章, 一个原子命题只用一个字母表示,而不再对命题中的句子成分细分。这样有一些逻辑问题无法解决。请看下面的例子。:小张是大学生。 Q:小李是大学生。从符号P、Q中不能归纳出他们都是大学生的共性。如果我们希望从所使用的符号那里得到更多的信息,比如可以看出他们的共性,则需要引进新的表示方法。问题提出 Concept Predicates 2017-2-19 2 ?:所有自然数都是整数。?B:8是自然数。?C:8是整数。?显然,由A和B可以推出结论C。这个推理是有效的,但是这个推理在第一章也是无法实现的。?分析:命题P与Q中的谓语是相同的(是大学生),?只是主语不同。命题A、B、C之间在主语谓语?方面也是有联系的,靠这种联系才能由A 、B推?出C。而从这三个符号上看不出此种联系。?所以就要另外考虑表示命题的方法。 Concept Predicates 2017-2-19 3 ?在表示命题时,同时表示出主语和谓语,就可以解?决上述问题。这就提出了谓词的概念。?令 S(x) 表示 x是大学生, a:小张, b:小李?则 S(a): 小张是大学生; S(b): 小李是大学生。?从符号 S(a) 、 S(b) 可看出“都是大学生”的共性。?令 N(x):x 是自然数。 I(x):x 是整数。??表示所有的。? A: ? x(N(x) → I(x)) ; ? B :N(8) ; C :I(8) 问题解决符号 S(x) 、 N(x) 、 I(x) 就是所谓的谓词。推理如此实现: N(8) → I(8) , N(8) ? I(8) Concept Predicates 2017-2-19 4 ? 2-1 基本概念客体与客体变元定义:能够独立存在的事物,称为客体,也称为个体。它可以是具体的,也可以是抽象的。通常用小写英文字母 a、b、c 、...表示。例如,小张、小李、 8、a、沈阳、社会主义等等都是客体。定义:用小写英文字母 x、y、 z... 表示任何客体,则称这些字母为客体变元。注意:客体变元本身不是客体。 Concept Predicates 2017-2-19 5 ?定义:谓词用来描述个体的性质或个体间的关系,用大写字母后加括号表示,括号内为客体变元。如果括号内有 n个客体变元,称该谓词为 n元谓词。?例如: ? S(x): 表示 x是大学生。一元谓词? G(x,y) :表示 x>y 。二元谓词? B(x,y,z) :表示 x在y与z之间。三元谓词?谓词注意: S(x) 、 G(x,y) , B(x,y,z) 表示的不是命题,而是命题函数。 Concept Predicates 2017-2-19 6 ?一般地用 P(x1,x2, …,xn) 表示 n元谓词。 n元谓词也称简单命题函数,将若干个简单命题函数用逻辑联结词联结起来,构成的表达式,称之为复合命题函数。简单命题函数与复合命题函数统称为命题函数。?例如: ?给定简单命题函数: ? A(x) :x身体好, B(x) :x学习好, C(x) :x 工作好?则:复合命题函数? A(x) →(? B(x) ∧? C(x)) ?表示如果 x身体不好,则 x的学习与工作都不会好。命题函数 Concept Predicates 2017-2-19 7 ?定义:在命题函数中命题变元的取值范围, ?称之为论域,也称之为个体域。?例如: S(x):x 是大学生,论域是:人类。? G(x,y) : x>y ,论域是:实数。?定义:由所有客体构成的论域,称之为全总?个体域。它是个“最大”的论域。?约定:对于一个命题函数,如果没有给定论域,则假定该论域是全总个体域。论域(个体域) Concept Predicates 2017-2-19 8 ?例如:有些人是大学生。?所有事物都是发展变化的。?“有些”,“所有的”,就是对客体量化的词。?定义:命题中表示对客体数量化的词,称之为量词。?量词的种类: ? (1). 存在量词:记作?,表示“有些”、“一些”、“某些”、“至少一个”等。? (2). 全称量词:记作?,表示“每个”、“任何一个”、“一切”、“所有的”、“凡是”、“任意的”等。量词 Concept Predicates 2017-2-19 9 Concept ?定义:量词后边要有一个客体变元,指明对哪个客体变元进行量化,称此客体变元是量词后的指导变元。?例如: ? x(读作“任意 x”),? x(读作“存在x”), ?其中的 x就是量词后的指导变元。?例题1 . 所有的自然数都是整数。?设 N(x) :x是自然数。 I(x) :x是整数。?此命题可以