商仆过河问题——数学建模.doc

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商仆过河问题
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*学院 **班 *** ********** **号
2014年12月4日
摘要：为了求解3个商人和3个随从的过河问题，用数学分析方法，建立数学模型，并且加以求解，展示动态规划思想的应用步骤。最后利用计算机编程进展求解，获得过河问题的完整求解过程；有效地求解类似多步决策问题的作用。
关键词：多步决策 计算机求解 状态转移律 图解法 MATLAB程序
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一、问题的提出
S个商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳K人，由他们自己划船。商人们窃听到随从们密谋，在河的任意一岸上，只要随从的人数比商人多，就杀掉商人。但是如何乘船渡河的决策权在商人手中，商人们如何安排渡河方案确保自身平安？
二、问题的关键
解决的关键集中在商人和随从的数量上，以及小船的容量上，该问题就是考虑过河步骤的安排和数量上。各个步骤对应的状态及决策的表示法也是关键。
三、问题的分析
在平安的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。由于船上人数限制，这需要多步决策过程，必须考虑每一步船上的人员。动态规划法正是求解多步决策的有效方法。它要求把解的问题一层一层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题。直到可以直接求出其解的子问题为止。分解成所有子问题按层次关系构成一棵子问题树．树根是原问题。原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。
四、 模型假设
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记第k次过河前A岸的商人数为XK，随从数为YKk=1，2，⋯XK ,YK=0，1，2，3，将二维向量SK=(XK，YK)定义为状态．把满足平安渡河条件下的状态集合称为允许状态集合。记作S。那么
S={(XK ,YK)|(XK =0,YK =0,1,2,3),(XK =3,YK =0,1,2,3),(XK =YK =1)(XK =YK =2)}
记第k次过河船上的商人数为UK，随从数为VK
将二维向量DK=(UK ,VK)定义为决策．由小船的容量可知允许