第五章 金属自由电子论.ppt

第五章金属自由电子论
§ Sommerfeld的自由电子论
一、自由电子模型
电子在一有限深度的方势阱中运动,电子间的相互 作用可忽略不计;
电子按能量的分布遵从Fermi-Dirac统计;
电子的填充满足Pauli不相容原理;
电子在运动中存在一定的散射机制。
二、运动方程及其解
1. 运动方程
其中,U0为电子在势阱底部所具有的势能,为简单起见,可选取U0 =0。
令
有
方程的解为:
其中,A为归一化因子,可由归一化条件确定。
V为金属的体积。
k为电子波矢
电子的能量:
二、周期性边界条件
设金属为一平行六面体,其棱边分别沿三个基矢a1、a2和a3方向,N1、N2和N3分别为沿a1、a2和a3方向金属的原胞数,那么,金属中原胞的总数为
N= N1 N2 N3
周期性边界条件:k(r)=k(r+Na ), =1, 2, 3
 kNa=2h , h为整数。
由于波矢量k是倒易空间中的矢量,可用倒格子基矢表示:
h为整数, =1, 2, 3
由于 h1、h2、h3为整数,可见引入周期性边界条件后,
波矢k的取值不连续,每一个k的取值代表一个量子态,这些量子态在k空间中排成一个态空间点阵,每一个量子态在k空间中所占的体积为
那么,在k空间中,波矢k的分布密度为
这表明,在k空间中,电子态的分布是均匀的,只与金属的体积有关。
3. 能态密度
这表明,在k空间中,自由电子的等能面为球面,在能量为E的球体中,波矢k的取值总数为
每一个k的取值确定一个电子能级,若考虑电子自旋,根据Pauli原理每一个能级可以填充自旋方向相反的两个电子。如将每一个自旋态看作一个能态,那么,能量为E的球体中,电子能态总数为
定义:能态密度
其中:
由此可见,电子的能态密度并不是均匀分布的,电子能量越高,能态密度就越大。
三、Fermi-Dirac统计
1. 量子统计基础知识
经典的Boltzmann统计:
量子统计: Fermi-Dirac统计和Bose-Einstein统计
费米子:自旋为半整数(n+1/2) 的粒子(如:电子、质 子、中子等),费米子遵从Fermi-Dirac统计规律;
玻色子:自旋为整数n的粒子(如:光子、声子等), 玻色子遵从Bose-Einstein统计规律。
2. T=0时电子的分布
当T=0时,系统的能量最低。但是,由于电子的填充必须遵从Pauli原理,因此,即使在T=0时,电子也不可能全部填充在能量最低的能态上。如能量最低的能态已经填有电子,其他电子就必须填到能量较高的能态上。所以,在 k空间中,电子从能量最低的原点开始填起,能量由低到高逐层向外填充,其等能面为球面,一直到所有电子都填完为止。由于等能面为球面,所以,在k空间中,电子填充的部分为球体,称为Fermi球。将Fermi球的表面称为Fermi面,Fermi面所对应的能量称为Fermi能EF0。于是,可得电子的分布函数为