毕业设计（论文）二元函数求极限的方法与技巧.doc

二元函数求极限的方法与技巧

（陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业201级1101班，陕西 汉中 723000）
指导教师：
[摘要]随着变量个数的增加,二元函数的极限比一元函数极限变得要复杂得多,但现教材参考书中关于二元函数极限求法介绍的不够详细,,通过具体例子给出了求解二元函数极限的几种方法 .
[关键词] 二元函数; 极限; 领域; 方法与技巧.
著名的《庄子》 一书中有言: “一尺之棰,日取其半,而万世不竭”.极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终,,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、广义积分的敛散性、，二元函数还是多元函数，, 二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,二者之间既有联系又有区别,比如：极限的四则运算法则是相同的,而且求极限是数学分析中一种最基本，,不仅可以提高学生分析问题,解决问题的能力,对后续课程也将产生深刻影响,,但现教材参考书中关于二元函数极限求法介绍的不够详细,,总结出了几个常用的方法,这些方法在求极限时都是行之有效的,因此我愿整理成文,以其对同学们学习这部分内容有所帮助.
1二元函数极限的概念
定义[1] 设函数在内有定义,是内的一个聚点,,总存在某正数,使得
当
时
即满足不等式
时
的一切点,都有
成立,则称为,当时的极限,记作
（1）
在对于不致产生误解时,也可简单地写作
（2）
当,分别用坐标表示时,⑵式也常写作
（3）
那么常数称为函数,当趋于时的极限.
为区别二元函数极限与一元函数极限,称二元函数极限为二重极限.
注 该定义是指以任何方式接近于时,函数都无限接近于.
因此
（1）如果以某一种特殊方法（如沿某一条直线）趋于时,函数无限趋于某一确定值,由此还不能确定该函数的极限是存在的.
（2）如果当以不同方式趋于时,函数趋于不同的值,则可判定此函数的极限是存在的.
2二重极限的运算法则
正像一元函数的极限一样,二重极限也有类似的运算法则,教材中并没有给出二元函数极限的求法,下面也将结合教学过程给出二重极限的求法.
法则[1] 若极限与都存在,则函数,当时极限也存在,则
（1）
（2）
若,则,当时极限存在,则有
（3）
3二元函数求极限的方法和技巧
二元函数极限是在一元函数极限的基础上推广得来的,,但随着变量的增加,,对后面含有更多变量的多元函数极限的求解打下基础.
直接证明方法
思路 直接证明法是根据函数的特征,用定义直接证明验证.
例1求
解 当 时
任意地给定一个正数,取,则
当

并且
时
有

即

所以
先估值再证明法
思路 此方法的运用通常是先观察,推断出函数的极限,然后用定义证明.
例2 求函数在原点处的极限
解 分两步考虑
(1)先令,考虑,当,时的极限,则有


(2) 再用定义证明为的极限
于是,取时
当
且
时
有