2014年高考数学中的内切球和外接球问题(附习题).doc

2014年高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)
D
接球的表面积是_______________..
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
故其外接球的表面积.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，，则有.
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即
练习：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为
例 6一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
A. (如图2)
例7）在等腰梯形中，，，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）.
A. B. C. D.
解析：（如图3） 因为，，所以
，即三棱锥为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C.
图3

例8 （2已知球的面上四点A、B、C、D，，，，则球的体积等于 .
解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，，由于，，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出
.故球的体积等于.（如图4）
图4
2、例9（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，，，若，则球的体积是 .
解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是为球的直径，O为球心，为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C两点间的球面距离是.（如图5）
图5
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A. B. C. D..选C.
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

例4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为 .
解 设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得.
又，∴球心必在所在的直线上.
∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在中，由，得.
∴.
∴是外接圆的半径，.
小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，.
五 .确定球心位置法
例5 在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为
A. B. C. D.
解 设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴.
出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，,求球的体积。
解：且，，，,
因为 所以知
所以 所以可得图形为：
在中斜边为
在中斜边为
取斜边的中点，
在中
在中
所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心

所以该外接球的体积为
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。