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态和力学量的表象
The representation for the states and
dynamical variable
态和力学量的表象
The representation for the states and
dynamical variable
引言
按量子力学基本原理,体系的状态用波函数描述,力学量用线性厄米算符表示。前面所使用的波函数及力学量算符是以坐标这个力学量算符的本征值为变量写出它们的具体形式的。那么,是否还可以选择其它力学量算符的本征值作为变量而写出波函数及力学量算符的具体形式呢?回答是肯定的。这就是说量子力学中波函数和力学量算符的描述方式不是唯一的,这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等,但它们对空间的描写是完全是等价的。
量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象
动量表象
能量表象
角动量表象
常用的表象
坐标表象
态的表象
The representation of the state
算符的矩阵表示
Matrix representation of operators
量子力学公式的矩阵表示
Matrix representation of formula for
quantum mechanism
幺正变换
Unitary transformation
狄喇克符号
Dirac symbols
线形谐振子与占有数表象
Linear oscillator and occupation number
representation
研究内容
重点掌握的内容
◆二个表示:
态在任意表象中的表示;
算符在任意表象中的表示。
◆三个公式:
在任意表象中
的表示
平均值公式
本征值方程
薛定谔方程
◆狄喇克符号及应用
◆幺正变换的基本性质
表象的定义
◆一个定义:
◆产生算符、湮灭算符、粒子数算符及它们的物理意义
矩阵力学
主要数学工具
矩阵

§ 态的表象
动量算符本征函数:
组成
完备系
展开系数
构成付里叶变换与逆变换
从数学上讲,知道其一, 必可唯一地求出另一。
从物理角度看, 描述粒子状态,那么也可用于描述粒子同一状态。
任一状态可按其展开:
称为坐标表象中的状态波函数, 称为动量表象中的状态波函数。
§ 态的表象(续1)
物理意义?
是在所描写的状态中,测量粒子的位置所得结果为的几率。
是在所描写的状态中,测量粒子的动量所得结果为的几率。
两者从不同的侧面描写粒子的状态, 给出了粒子的不同信息(力学量和的信息)。
证
(归一化条件)
命题
若是归一化波函数,则也归一。
§ 态的表象(续2)
表象
力学量算符的正交归一的本征函数完备系:
任一状态可按其展开:
展开系数:
由上述两式给出了与函数集之间的相互变换关系,将写成矩阵
本征方程:
§ 态的表象(续3)