5 极限存在法则 两重要极限.ppt

数学分析(上) 第五节极限存在准则两个重要极限准则 I ( 夹逼准则) 如果,及满足下列条件: }{ nx }{ ny}{ nz (1)nnnzxy??)(Nn?(2)ay nn??? limaz nn??? lim 则数列的极限存在, 且}{ nxax nn??? lim 数学分析(上) 准则 I′(函数的夹逼准则) 如果(1)当时,有)()()(xhxfxg??(2)Axg xx??)( lim 0则存在, 且),( 0rxUx o?Axh xx??)( lim 0)( lim 0xf xx?Axf xx??)( lim 0例如例如求求 02 lim xxx ?? ?? ?? ?=2 数学分析(上) 两个重要极限 1 sin lim 0??x x x (1) (1) A C)2 0(,, ?????xx AOB O 圆心角设单位圆, tan ,, sin AC x AB x BD x???弧于是有 xo BD. ACO ?,得作单位圆的切线,x OAB 的圆心角为扇形, BD OAB 的高为?, tan sinxxx???数学分析(上) 1 sin cos ??x xx 即 2 0 1 cos 2sin 2 xx ? ? ? 22 2 2 2xx????????因为所以 即 0) cos 1( lim 0???x x1 cos lim 0??x x因而 1 sin lim 0??x x x 证因为 是偶函数,所以只讨论 x>0. 当时, 有 2 0 ???xxxx tan sin 0??? sin xx 数学分析(上) 例5 求 . x x x tan lim 0?解x x x tan lim 0?xx x x cos 1 sin lim 0???xx x xx cos 1 lim sin lim 00????1?例6求 . 20 cos 1 lim x x x??解 20 cos 1 lim x x x?? 2 202 sin 2 lim x x x?? 2 202 2 sin lim 2 1????????x x x202 2 sin lim 2 1????????????x x x2 1?数学分析(上) 例7 求 . 0 cos lim 2 xxx ???= -1数列?? nx 单调增加 ,若?????????? nxxx 21单调减少 ,若?????????? nxxx 21 准则Ⅱ(单调有界收敛准则) 1x 2x 3x 1?nx nx 几何解释:A M 数学分析(上) 确界与确界存在定理定义对于数集 A,若数 s 满足: 则称 s 是A的上确界(或最小上界). 记作 supA. 注①上确界就是最小的上界。②上确界与最大值的区别:最大值必须含于数集中。若 A有最大值, 则它就是 A的上确界。反之未必。 0 0 (1) (2) 0, , . x A x s x A x s ? ?? ? ?? ?????,都有; 使得数学分析(上) ③上确界若存在,. ④下确界记为 inf A. 下下注:①单调递增有上界的数列,其极限就是数列的上确界. ②若数集 A没有上界, 则规定 supA=+ ∞.下 infA= -∞. ③确界存在定理仅对实数集成立。数学分析(上) 例8.) (333 的极限存在式重根证明数列 nx n?????证, 1nnxx??显然??; 是单调递增的 nx?,33 1??x?又,3? kx 假定 kkxx???3 133??,3???; 是有界的 nx? A x nn 设为存在. lim ???,3 2AA??2 13 1,2 13 1????AA 解得(舍去).2 13 1 lim ????? nnx 数学分析(上) 例9 设数列 lim sin(sin sin ) nnx ??????????自己做:求 1 2 1 2 2, 2 , 2 . nan a a a ?? ? ??证明存在, 并求之. nna ?? lim 例例 10 10 证明证明存在存在. . 1 lim(1 ) n nn ???