完整版四点共圆判定和性质.doc

完整版四点共圆判定和性质.doc四点共圆的判定和性质
四点共圆的定义： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，
则称这四个点共圆， 一般简称为
“四点共圆 ”.
证明四点共圆有下述一些基本方法：
方法 1:从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，
然后证另一点也在这个圆上，
若能证明这一
点，即可肯定这四点共圆．
方法 2:把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，
若能证明其两顶角为直角，
从而即可肯
定这四个点共圆．
方法 3:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，
且两三角形都在这底边的同侧，
若能
证明其顶角相等，从而即可肯定这四点.
方法 4:把被证共圆的四点连成四边形， 若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补
角的内对角时，即可肯定这四点共圆．
方法 5:把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，
若能证明它们各自被交点分成的两线段
之积相等， 即可肯定这四点共圆； 或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，
若能
证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线
段之积，即可肯定这四点也共圆．
方法 6:证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．
上述六种基本方法中的每一种的根据， 就是产生四点共圆的一种原因， 因此当要求证四点共圆的问题时， 首先就要根据命题的条件， 并结合图形的特点， 在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明．
判定与性质：
圆内接四边形的对角和为 180 度,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形 ABCD内接于圆 O，延长 AB 至 E， AC、 BD 交于 P，则 A+C=180 度， B+D=180°
ABC=∠ ADC（同弧所对的圆周角相等）
CBE=∠ D（外角等于内对角）
△ABP∽ △ DCP（三个内角对应相等）
AP× CP=BP× DP（相交弦定理）
AB× CD+AD×CB=AC×BD（托勒密定理）
托勒密定理及证明：
如图，四边形 ABCD内接于圆 O，那么 AB*CD+AD*BC=AC*BD 证明：作 ∠BAE=∠ CAD，交 BD 于点 E
∵∠ ABE=∠ ACD， ∠ BAE=∠CAD
∴△ ABE∽ △ ACD
∴AB： AC=BE： CD
∴AB× CD=AC× BE
∵∠ BAC=∠ EAD， ∠ACB=∠ ADE
∴△ ABC∽ △ AED
∴BC： DE=AC：AD
∴BC× AD=AC× DE
∴AB× CD+BC× AD=AC× BE+AC× DE=AC（ BE+DE） =AC× BD
拓展延伸：
利用托勒密定理证明两角和公式： sin( α-β)=sin αcos-cosβαsin β 作图设圆内接四边形 ABCD中 ,
AC 是直径 ,∠ BAC=α,∠ DAC=β,则 ∠ BAD=α +β
作直径 BE,连接 DE,则 ∠BED+∠ BAD=180°
sin