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函数单调性与导数
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
函数单调性判定
单调函数的图象特征
y
x
o
a
b
y
x
o
a
b
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是减函数；
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
增函数
减函数
则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
G 称为单调区间
G = ( a , b )
二、复习引入:
2：常见函数的导数：
C’ = ______; ( xn )’ = _____;
(sinx)’=_____; (cosx)’=_____;
( ax )’= ______; ( ex )’= ______;
(logax)’=_____; (lnx)’=_______.
观
察:
下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象.
运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
a
a
b
b
t
t
v
h
O
O
①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t),
②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t),
(1)
(2)
设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数，如果在这个区间内f′(x) >0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f′(x) <0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.
(1)函数y=f(x)在区间I内单调增 f′(x) >0
探究二:下列命题正确吗? (用I表示某个区间)
(2)在区间I内f′(x) ≥ 0 函数y=f(x)在I内单调增
(1)函数y=f(x)在区间I内单调增 f′(x) ≥0
不能
不能
新知1函数的单调性与其导函数的正负关系：
如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数
新知2：如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为 函数
f′(x) >0是f(x)为增函数的 条件；
f′(x)≥0是f(x)为增函数的 条件．
即若在某个区间上有有限个点使得f'(x)=0,而在其余的点恒有f'(x)>0(或f'(x)<0),则该函数在该区间上仍为增函数（减函数）
例2、已知导函数 的下列信息：
当1<x<4时， >0;
当x>4,或x<1时， <0;
当x=4,或x=1时， =(x)图象的大致形状是(　　）。
x
y
o
1
4
x
y
o
1
4
x
y
o
1
4
x
y
o
1
4
A
B
C
D
D
导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关
正负
2．应用导数信息确定函数大致图像
试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
（1）f(x)=x3+3x ; （2）
（3）
．
(4)y=ex-x+1
(2) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;
解： =6x2+6x-24=6(x2+x-4)
当 >0，
即 时，
函数单调递增；