第三讲 方程组的背景及计算.ppt

数学建模与实验主讲人:宋叔尼教授 2009 年3月第三讲与方程组有关的问题数学必须解决实际问题首届国家最高科学技术奖获得者、中国科学院院士吴文俊指出: 任何数学都要逻辑推理,但这只是问题的一个方面,更重要的是用数学去解决问题,解决日常生活及其他学科中出现的数学问题。学校给的数学题目都是有答案的,已知什么,求证什么, 都是清楚的,题目也一定是做得出的。但是将来到了社会上,所面对的问题大多是预先不知道答案的,甚至不知道是否会有答案。这就要求培养学生的创造能力,学会处理各种实际数学问题的方法。什么是数学建模与实验众所周知,学习物理要做物理实验,学习化学要做化学实验,为适应现代科学技术的发展,学习数学也需要做数学实验。传统数学的教学体系和内容侧重于培养学生准确、快捷的计算和严密的逻辑推理。如何运用所学的数学理论将一个实际问题用适合的数学语言描述? 如何运用计算机求解该问题? 如何结合实际问题对所求解进行分析和修正? 这些综合起来就是数学建模与实验。目次一二三四五六七八试验项目数学建模初步 Matlab 使用简介方程组计算线性规划非线性规划数理统计 MATLAB 求解图论组合数学模糊数学授课教师韩铁民薛定宇宋叔尼张薇孙平薛定宇孙艳蕊张祥德张国伟课程内容 1. 介绍数学建模过程中基本的数学方法(32 学时) 2. ( 测验,同时选拔部分队员培训(案例教学) ) 3. 竞赛题讲解( 8月底) 许多实际问题可以归结为方程组的求解例如:冶金工程、机械结构、大型的土木结构、最优控制大型输电网络、图像处理、种群繁殖、经济规划等。 1. 投入产出分析 1949 年,哈佛大学教授 Leontief 把美国经济分解成 500 个部门(如农业、制造业、服务业等),对每个部门,其产出如何分配给其它经济部门? 构建了 500 个未知数, 500 个方程的方程组,受计算机的限制只好把问题简化为 42个未知数, 42个方程的方程组。该成果获 1973 年诺贝尔经济学奖。下面假设:经济体系中仅由农业、制造业、服务业构成, 这些部门生产商品和服务。产出投入农业制造业服务业初始投入总投入农业 15302035 100 制造业 201060 110 200 服务业 3045075 150 外部需求 35 115 70 总产出 100 200 150 各部门间的投入产出平衡关系上表中第一行表示农业总产出为 100 时, 15农产品用于农业生产, 20用于制造, 30用于服务, 35用于外部需求。 ,建立求解各部门总产出模型。 、制造业、服务业的外部需求分别为 50, 150 ,100 ,问三个部门的总产出分别应为多少? 1单位,总产出应增加多少? ,都能得到非负总产出, 称模型可行。为使模型可行,应满足什么条件? 问题产出投入农业制造业服务业初始投入总投入农业 15302035 100 制造业 201060 110 200 服务业 3045075 150 外部需求 35 115 70 总产出 100 200 150 设有 n个部门,第 i个部门的总产出为 xi,用于(投入到)第j个部门 xij,外部需求为 di,则 ii in iixdxxx?????? 21假设每个部门的产出与投入成正比,即 xij/xj 为常数,记为 aij . 1. 给定外部需求,建立求解各部门总产出模型 1 2 1, 2, , i i in i i x x x d x i n ? ?????? ? 1 1 2 2 1, 2, , i i in n i i a x a x a x d x i n ? ?????? ?转换成记投入系数矩阵,产出向量( ) ij A a ? 1 2 ( , , , ) Tn x x x x ?? 1 2 ( , , , ) Tn d d d d ??需求向量,则方程组记为 Ax d x ? ?即( ) I A x d ? ?这就是线性代数方程组。产出投入农业制造业服务业农业 制造业 服务业 0 投入产出系数表产出投入农业制造业服务业初始投入总投入农业 15302035 100 制造业 201060 110 200 服务业 3045075 150 外部需求 35 115 70 总产出 100 200 150 各部门间的投入产出平衡关系