极坐标及参数方程知识点总结计划.docx

极坐标及参数方程知识点总结计划.docx第一部分：坐标系与参数方程
【考纲知识梳理】
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点
x
? x,
0
,在变换:
? y,
的作用
y
0
下 ,点 P x, y 对应到点 P x , y ,称
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
,简称伸
缩变换 .

极坐标系
如图 (1) 所示 ,在平面内取一个定点
O ,叫做极点 ,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴 ;再选定一个长度单位
,一个角
度单位 (通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向
), 这样就建立了一个极坐标系.
注 :极坐标系以角这一平面图形为几何背景
,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景
;平面直角坐标
系内的点与坐标能建立一一对应的关系
,而极坐标系则不可 .但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系
.
(2) 极坐标
设 M 是平面内一点 ,极点 O 与点 M 的距离 |OM| 叫做点 M 的极径 ,记为
;以极轴 Ox 为始边 ,射线 OM 为终边的角
xOM 叫做点 M 的极角 ,记为
.有序数对,
叫做点 M 的极坐标 ,记作 M
, .一般地 ,不作特殊说明时 ,我
们认为
0, 可取任意实数 .特别地 ,当点 M 在极点时 ,它的极坐标为
0,
R 。和直角坐标不同
,平面内一
个点的极坐标有无数种表示
.如果规定
0,0
2 ,那么除极点外 ,平面内的点可用唯一的
极坐标
, 表示 ;同时 ,极坐标
,
表示的点也是唯一确定的 .

互化背景 :把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴 ,并在两种坐标系中取相同的长度单位 ,如图 (2) 所示 :
(2) 互化公式 :设 M 是坐标平面内任意一点 ,它的直角坐标是 x, y ,极坐标是 , 0 ,于是极
坐标与直角坐标的互化公式如表 :
点 M 直角坐标 x, y 极坐标 ,
互化公式
在一般情况下 ,由 tan 确定角时 ,可根据点 M 所在的象限最小正角 .

曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点 ,半径为 r 的圆
圆心为 r ,0 ,半径为 r 的圆
圆心为 r , ,半径为 r 的圆
2
(1)
过极点 ,倾斜角为 的直线
(2)

R 或 R
0 或 0
过点
过点

a,0 ,与极轴垂直的直线
a, ,与极轴平行的直线
2
注 :由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一
,即
,
,
,2
,,
,