§ 崖高的估算
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功
能的计算器,你也许会出于好奇心想用扔下
一块石头听回声的方法来估计山崖的高度,
假定你能准确地测定时间,你又怎样来推算
山崖的高度呢,请你分析一下这一问题。
我有一只具有跑表功能的计算器。
方法一
假定空气阻力不计,可以直接利用自由落体运动的公式
来计算。例如, 设t=4秒,g=,则可求得h≈。
我学过微积分,我可以做
得更好,呵呵。
除去地球吸引力外,对石块下落影响最大的当属空气阻力。根据流体力学知识,此时可设空气阻力正比于石块下落的速度,阻力系数K为常数,因而,由牛顿第二定律可得:
令k=K/m,解得
代入初始条件 v(0)=0,得c=-g/k,故有
再积分一次,得:
若设k= t=4秒,则可求得h≈。
听到回声再按跑表,计算得到的时间中包含了反应时间
进一步深入考虑
,假如仍设t=4秒,,代入式①,求得h≈。
①
多测几次,取平均值
再一步深入考虑
代入初始条件h(0)=0,得到计算山崖高度的公式:
将e-kt用泰勒公式展开并令k→ 0+ ,即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此,令石块下落的真正时间为t1,声音传回来的时间记为t2,还得解一个方程组:
这一方程组是非线性的,求解不太容易,为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理
相对于石块速度,声音速度要快得多,我们可用方法二先求一次 h,令t2=h/340,校正t,求石块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次,得出崖高的近似值。例如, 若h=,则 t2≈,故 t1≈,求得 h≈。
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