二次函数的知识点的总结.doc

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二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分二次函数基础知识
相关概念及定义
二次函数的概念： 一般地，形如y =ax2・bx（ a, b , c是常数，a=0）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似， 二次项系数a = 0，而b ,c 可以为零•二次函数的定义域是全体实数.
二次函数y =ax2・bx c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式，x的最高次数是2.
⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 二次函数各种形式之间的变换
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二次函数 y =ax +bx+c用配方法可化成： y = a（x-h） + k的形式，其中
, b , 4ac—b2
h , k
2a 4a
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① y = ax2 :②y = ax2 • k :③
2 2 2
y=ax-h :④ y=ax-hi 亠k :⑤ y=ax bx c . 二次函数解析式的表示方法
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一般式：y =ax bx c （ a , b , c 为常数，a =0 ）;
顶点式：y=a（x-h）2，k （ a , h , k 为常数，a=0 ）;
两根式：y =a（x-x0（x-X2）（ a=0,为,x?是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数 都可以写成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即b2-4ac_0时，抛物线的解析式
才可以用交点式表示•二次函数解析式的这三种形式可以互化
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二次函数y =ax的性质
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a >0
向上
（0 ,。）
y轴
x>0时，y随x的增大而增大；xc0时，y 随x的增大而减小；x =0时，y有最小值0.
a <0
向下
(0,0)
y轴
xa0时，y随x的增大增大而减小； x<0
时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最
大值0 .
二次函数y =ax2 c的性质
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质性质
a =0
向上
(0, c)
y轴
x>0时，y随x的增大而增大；xv0时，y 随x的增大而减小；x = 0时，y有最小值c •
a <0
向下
(0，c)
y轴
x>0时，y随x的增大而减小；xc0时，y 随x的增大而增大；x = 0时，y有最大值c .
2
二次函数y =a x — h的性质:
a的符 号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a =0
向上
(h, 0)
X=h
xqh时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x 的增大而减小；x = h时，y有最小值0 .
a c0
向下
(h ,0)
X=h
x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x 的增大而增大；x = h时，y有最大值0 .
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二次函数y二a x - h k的性质
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a >0
向上
(h , k)
X=h
x >h时，y随x的增大而增大；x ch时，y随 x的增大而减小；x=h时，y有最小值k .
a v0
向下
(h , k)
X=h
x >h时，y随x的增大而减小；x ch时，y随 x的增大而增大；x=h时，y有最大值k .
2 亠
抛物线y = ax bx c的三要素：开口方向、对称轴、顶点
a的符号决定抛物线的开口方向： 当a>0时，开口向上；当a<：0时，开口向下；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同 .
K
对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x —.特别地，y轴记作直线x=0.
2a
—4ac — —2
顶点坐标坐标：（ ，- —）
2a 4a
顶点决定抛物线的位置•几个不同的二次函数， 如果二次项系数a相同，那么抛物 线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同
抛物线y =ax2 • bx • c中，a,—,c与函数图像的关系
二次项系数a
二次函数y二ax2 • bx c中，a作为二次项系数，显然 a = 0 .
⑴ 当a 0时，抛物线开口向上， a越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大；
⑵ 当a ：：:0时，抛物线开口向下， a越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向， a的正负决定开口方向， a的大小决
定开口的大
小.