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定积分应用
如何应用定积分解决问题 ?
首先， 要在区间划分的基础上找出能够很大程度上取代局部部分量的线性近似值，
即寻找微分表达式
然后， 求出整体量的
这种分析方法称为微元法
精确值
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其次， 考虑f(x)选取的可靠性，即确保能够做到
通常情况下，“以直代曲” “以匀代非匀” “以常代变”或近似的将[x,x+dx]看成一点的乘积运算就能满足此要求
微元法的实施：
第一步 求出局部量的
微分表达式
第二步 求出整体量的
积分表达式
近似值
精确值
（被称为F的微元）
平面图形的面积问题
直角坐标情形
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
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边梯形面积为 A ,
右下图所示图形面积为
例. 计算两条抛物线
在第一象限
所围图形的面积 .
解: 由
得交点
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例. 计算抛物线
与直线
的面积 .
解: 由
得交点
所围图形
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
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例. 求椭圆
解: 利用对称性 ,
所围图形的面积 .
有
利用椭圆的参数方程
应用定积分换元法得
当 a = b 时得圆面积公式
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例. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
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极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
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对应  从 0 变
例. 计算阿基米德螺线
解:
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到 2 所围图形面积 .