数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题.doc

数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题
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数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题
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四点共圆问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以四点共圆作为证题的目的，二是以四点共圆作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.
1 四点共圆作为证题目的
△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC及其延长线交于M，，：M，N，P，Q四点共圆.
分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM.
欲证M，N，P，Q四点共圆，须证
MKKN=PKKQ，
即证(MC-KC)(MC+KC)
=(PB-KB)(PB+KB)
或MC2-KC2=PB2-KB2 . ①
不难证明 AP=AM，从而有
AB2+PB2=AC2+MC2.
故 MC2-PB2=AB2-AC2
=(AK2-KB2)-(AK2-KC2)
=KC2-KB2. ②
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由②即得①，命题得证.
、B、C三点共线，O点在直线外，
O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，
△：O，O1，O2，
O3四点共圆.
分析：，△OBC及其外接圆，立得OO2O1= OO2B=△OCA及其外接圆，立得OO3O1= OO3A=OCA.
由OO2O1=OO3O1 O，O1，O2，O3共圆.
利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.
2 以四点共圆作为解题手段
这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面.
(1)证角相等
，AB∥DC，ABCD，K，M分别在AD，BC上，DAM=CBK.
求证：DMA=CKB.
分析：易知A，B，M，，
有DAB=CMK.∵DAB+ADC
=180，
CMK+KDC=180.
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故C，D，K，M四点共圆 CMD=DKC.
但已证AMB=BKA，
DMA=CKB.
(2)证线垂直
例4.⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，
BC交于K，N(K与N不同).△ABC
外接圆和△BKN外接圆相交于B和
：BMO=90.
分析：这道国际数学竞赛题，，只要把握条件和图形特点，借助四点共圆，问题是不难解决的.
连接OC，OK，MC，MK，=
BAC=BNK==2BAC=GMC+
BMK=180CMK，
COK+CMK=180 C，O，K，M四点共圆.
在这个圆中，由
OC=OK OC=OK OMC=OMK.
但GMC=BMK，
故BMO=90.
(3)判断图形形状
，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的内心依次记为IA，IB，IC，ID.
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试证：IAIBICID是矩形.
AICB=90ADB=90+
ACB=AIDB