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【恒心】高考数学(文科)传奇逆袭008-平面解析几何.doc
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高等教育
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【恒心】高考数学(文科)传奇逆袭008-平面解析几何
第八章 平面解析几何
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1.直线的倾斜角
(1)定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0,π).
2.直线的斜率
(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan_α,倾斜角是90°的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式:
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k==.
3.直线方程
名称
几何条件
方 程
局限性
点斜式
过点(x0,y0),斜率为k
y-y0=k(x-x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
斜率为k,纵截距为b
y=kx+b
不含垂直于x轴的直线
两点式
过两点(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2,y1≠y2)
=
不包括垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b≠0)
+=1
不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C
=0(A,B不全为0)
1.利用两点式计算斜率时易忽视x1=x2时斜率k不存在的情况.
2.用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在讨论,否则会造成失误.
3.直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式.
4.由一般式Ax+By+C=0确定斜率k时易忽视判断B是否为0,当B=0时,k不存在;当B≠0时,k=-.
[试一试]
1.若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1在x轴上的截距为1,则实数m是( )
A.1 B.2
C.- D.2或-
解析:选D 当2m2+m-3≠0时,即m≠1或m≠-时,在x轴上截距为=1,即2m2-3m-2=0,
故m=2或m=-.
2.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为________.
解析:∵kMN==1,∴m=1.
答案:1
3.过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________.
解析:①若直线过原点,则k=-,
所以y=-x,即4x+3y=0.
②若直线不过原点.
设+=1,即x+y=a.
则a=3+(-4)=-1,
所以直线的方程为x+y+1=0.
答案:4x+3y=0或x+y+1=0
1.求斜率可用k=tan α(α≠90°),其中α为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记:“斜率变化分两段,90°是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”.
2.求直线方程的一般方法
(1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时,应注意各种形式的方程的适用范围,必要时要分类讨论.
(2)待定系数法,具体步骤为:
①设所求直线方程的某种形式;
②由条件建立所求参数的方程(组);
③解这个方程(组)求出参数;
④把参数的值代入所设直线方程.
[练一练]
1.直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π) B.∪
C. D.∪
解析:选B 设倾斜角为θ,则有tan θ=-sin α其中sin α∈[-1,1].又θ∈[0,π),∴0≤θ≤或≤θ<π.
2.过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________.
解析:当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0;
当斜率存在时,设其为k,
则所求直线方程为y-10=k(x-5),
即kx-y+(10-5k)=0.
由点到直线的距离公式,得=5,
解得k=.
故所求直线方程为3x-4y+25=0.
综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
答案:x-5=0或3x-4y+25=0
考点一
直线的倾斜角与斜率
1.(2021·秦皇岛模拟)直线x+y+1=0的倾斜角是( )
A. B.
C. D.
解析:选D 由直线的方程得直线的斜率为k=-,设倾斜角为α,则tan α=-,又α∈[0,π),所以α=.
2.(2021·常州模拟)若ab<0,则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是________.
解析:kPQ==<0,又倾斜角的取值范围为[0,π),故直线PQ的倾斜角的取值范围为.
答案:
[类题通法]
1.求倾斜角的取值范围的一般步骤:
(1)求出斜率k=tan α的取
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