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求导数的方法法则与公式
一、函数和、差、积、商的求导法则
如果函数u(x)和v(x)是x的可导函数,
则它们的和、差、积、商(分母不为零)
也是x的可导函数,并且
(1) [uv]=uv
(2) (uv)=uv+uv
(3)
特别,
推论:
(2) [Cf(x)]=Cf (x)
(1)
(3)
例1. 求 y=x32x2+sinx 的导数
解:
y=(x32x2+sinx)
=(x3)(2x2)+(sinx)
=3x24x+cosx
例2. 求y=sin2xlnx的导数
解:
y=2sinxcosxlnx
y=2(sinx)cosxlnx+2sinx(cosx)lnx
+2sinxcosx(lnx)
=2cosxcosxlnx+2sinx(sinx)lnx
例3. 求y=tanx的导数
解:
=sec2x
即 (tanx)=sec2x
同理可得: (cotx)= csc2x
例4 . 求y=secx的导数
解:
=secxtanx
同理可得: (cscx)= cscxcotx
即 (secx)=secxtanx
二、复合函数的求导法则
如果函数u=(x)在点x处可导, y=f(u)
在对应点u=(x)处也可导,则有复合函数y=f[(x)]在点x可导,其导数为:
即复合函数的导数,等于函数对中间
变量的导数乘以中间变量对自变量的导
数
公式也可写成
公式还可推广到多次复合的情形.
如 y = f (u)，u = (v), v = g(x), 则
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例5. 求y=lnsinx的导数
解:
y=lnu, u=sinx
=cotx
求复合函数的导数的关键:
对复合函数进行正确的分解