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10BA高数二
10BA高数（二）复习
第五章 定积分
上册P225
定义 设函数在区间上有界，在中任意插入若干个分点
，
把区间分成个小区间
，，，
每个小区间的长度依次为
，，。
在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作出和
（1）
记，如果不论对怎样划分，也不论在小区间上点怎样选取，只要当时，和总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数在区间上的定积分，记作，即
， （2）
其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。
定积分的值只与被积函数及积分区间有关，与积分变量的记法无关。
上册P226
定理1 设在区间上连续，则在上可积。
上册P227
定理2 设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积。
例1 不计算定积分的值，比较与的值的大小。
解 当时，有，故有，从而，有

例2 估计积分的值。
解 因为，从而在上单调减少。故，当时，有
。
又。故有
上册P237
定理1如果函数在区间上连续，则积分上限的函数

在上可导，并且它的导数
（2）
上册P240
例2 计算。
解 由于是的一个原函数，所以


上册P242
例8 求 。
解 这是一个型的未定式，利用洛必达法则计算，分子可写成
，
由公式（2）有

，
因此
例9 设函数 计算。
解 设，则，且当时，；当时，，
于是

上册P251
例11 计算，
解 先用换元法，令，则，且当时，；当时，。
于是
。
上册P257
例3 证明反常积分当时收敛，当时发散。
证 当时，

当时，

定积分例题补充
例1 计算。
解

例2 计算；
解

例3 计算，
解
。
例4 计算，
解

例5 判断广义积分的收敛性。
解 因为

所以，广义积分收敛。
例6 判断广义积分的敛散性。
解 因为，于是


所以，广义积分收敛。
例7，直线经过点，且使定积分的值最小，求之值。
解 因为直线经过点，所以，。

，令，得。又，所以，当时，积分有最小值。
第七章 微分方程
上册P295--296
凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。方程中出现的未知函数的最高阶导数，叫做微分方程的阶。
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的
通解。确定通解中任意常数的取值的条件，叫做初始条件。不含任意常数的解，叫做特解。
例1，验证形如的微分方程，可经过变量代换化为可分离变量的方程，并求其通解。
解 将原方程变形为，作变换，，有
，，可分离为

两边积分，可得通解为，
或 ，
上册P311
例1 求方程

的通解。
解 先求对应的齐次方程的通解。

。
用常数变易法，把换成，即令 ， （6）
那么 ，
代人所给非齐次方程，得
，
两端积分，得
再把它代人（6）式，即得