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相似矩阵的定义及性质
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性质1:
相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、
相同的行列式、相同的迹、相同的秩
推论：若矩阵 与对角阵 相似，
则 是 的 个特征值。
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(1)
相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。
当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。
其它的有关相似矩阵的性质：
(3)
若 与 相似，则 与 相似。（ 为正整数）
(5)
(6)
（ 为任意常数）
(2)
若 与 相似，则 与 相似。（ 为正整数）
(4)
若 与 相似，而 是一个多项式，
则 与 相似。
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（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
注： （1）与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，
与数量矩阵kE 相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。
三. 矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）
对 阶方阵 ，如果可以找到可逆矩阵 ，
使得 为对角阵，就称为把方阵 对角化。
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定理1： 阶矩阵 可对角化（与对角阵相似）
有 个线性无关的特征向量。
（2）可逆矩阵 由 的 个线性无关的特征向量
作列向量构成。
(逆命题不成立)
推论：若 阶方阵 有 个互不相同的特征值,
则 可对角化。（与对角阵相似）
注：（1）若 则 的主对角元素即为 的特征值，
矩阵 的相似标准形。
如果不计 的排列顺序，则 唯一，称之为
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例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
解:
得
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得基础解系
当 时，齐次线性方程组为
当 时，齐次线性方程组为
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得基础解系
线性无关
即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。
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得基础解系
所以 不能化为对角矩阵.
当 时，齐次线性方程组为
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解：
例2：设
若能对角化，求出可逆矩阵 使得 为对角阵。
问 能否对角化？
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