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矩阵的相似变换和特征值
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§ 方阵的特征值和特征向量
一. 特征值, 特征向量的定义和计算
1. 设A是n阶方阵, 为数, 为n维非零向量.
若A = , 则称为A的特征值, 称为A
的对应于的特征向量.
2. 由A =得齐次线性方程组(I–A) =,
它有非零解系数行列式|I–A|=0, 这个
关于的一元n次方程, 称为A的特征方程,
|I–A|称为A的特征多项式.

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§ 方阵的特征值和特征向量
例1. 求
的特征值和特征向量.
解:
所以A的特征值为1=2, 2=4.
解之得
A的对应于1=2的特征向量为
对于1=2, (2I–A)x =  即

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§ 方阵的特征值和特征向量
解之得
A的对应于2=4的特征向量为
对于2=4, (4I–A)x =  即
例1. 求
的特征值和特征向量.
解:
所以A的特征值为1=2, 2=4.


第五章 矩阵的相似变换和特征值
§ 方阵的特征值和特征向量
解: |I–A| = (–2)(–1)2.
所以A的特征值为1=2, 2= 3= 1.
对于1=2,
求得(2I–A)x =  的基础解系: p1=(0,0,1)T.
对应于1=2的特征向量为kp1 (0kR).
对于2=3=1,
求得(I–A)x =  的基础解系: p2=(–1, –2,1)T.
对应于2=3 =1的特征向量为kp2 (0kR).
例2. 求
的特征值和特征向量.


第五章 矩阵的相似变换和特征值
§ 方阵的特征值和特征向量
解: |I–A| = (+1)( –2)2.
所以A的特征值为1= –1, 2= 3= 2.
(–I–A)x = 的基础解系: p1=(1,0,1)T.
对应于1= –1的特征向量为kp1 (0kR).
(2I–A)x = 的基础解系:
p2=(0, 1, –1)T, p3=(1, 0, 4)T.
对应于2=3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3
(k2, k3不同时为零).
例3. 求
的特征值和特征向量.


第五章 矩阵的相似变换和特征值
§ 方阵的特征值和特征向量
例4. 设为方阵A的特征值, 证明2为A2的特征值.
证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x,
于是(A2)x = A(Ax) = A(x) = (Ax) = 2x,
所以2为A2的特征值.
例5. 设为方阵A的特征值, 证明() = 22 –3 +4.
为(A) = 2A2 –3A +4I的特征值.
证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x,
于是(A)x = (2A2 –3A +4I)x
= 2(A2)x–3Ax +4x
= 22x–3x +4x
= (22 –3 +4)x
= ()x,
所以f()为f(A)的特征值.

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§ 方阵的特征值和特征向量
二. 特征值, 特征向量的性质
. 设1, …, n(实数或复数, 可以重复)
是n阶方阵A=[aij]的n个特征值, 即
|I–A| = (–1) (–2)…(–n).
则
 i = trA =  aii
n
i =1
n
i =1
 i = detA = |A|
n
i =1

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§ 方阵的特征值和特征向量
. 设是方阵A的一个特征值, f是一个
多项式, 则f()是方阵f(A)的一个特
征值.
推论. 若f是多项式, A是一个方