微积分证明不等式方法.doc

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用微积分理论证明不等式的方法
XX省扬中高级中学 卞国文 212200
高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．
微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，假设能根据不等式的构造特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．
一、用导数定义证明不等式法
1．证明方法根据－导数定义
导数定义：设函数在点的某个邻域内有定义，假设极限存在，那么称函数在可导，称这极限为函数在点的导数，记作．
2．证明方法：
(1)找出，使得恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合条件去研究．
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3．例
例1:设函数，其中都为实数，为正整数，对于一切实数，有，试证：．
分析：问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：．于是问题可以转化为证明．
证明：因．那么．利用导数的定义得：．由于．
所以．即．

用导数定义证明不等式，此方法得适用X围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以到达化繁为简的目的．
二．用可导函数的单调性证明不等式法
－可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理
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定理一：假设函数在可导，那么在内递增〔递减〕的充要条件是：
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定理二：设函数在连续，在内可导，如果在〔或〕，那么在上严格单调增加〔或严格单调减少〕.
定理三：设函数在内可导，假设〔或〕，那么在内严格递增〔或严格递减〕.
上述定理反映了可导函数的一阶导数符