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圆知识点总结
圆知识点总结
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一、圆的概念
集合形式的概念：　
圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
轨迹形式的概念：
圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；
二、圆的对称性　
1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性:圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
三、垂径定理及其推论　
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
推论1:
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及其推论可概括为：
　　 过圆心
　 垂直于弦
直径 平分弦 　 　 知二推三
　　　 　 平分弦所对的优弧
　 　 平分弦所对的劣弧
　 　 　
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
　 即：在⊙中，∵∥
　 　 　 ∴弧弧
三、圆心角定理
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①圆心角定理: 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理也称1推３定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的１个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①;②;
③；④　弧弧
②圆心角的度数与它所对弧的度数相等。
三、圆周角定理及其推论　　
1、圆周角 顶点在圆上,并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦,像这样的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。
3、圆周角定理的推论
推论1:圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
推论2:同弧或等弧上所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
推论3：直径（或半圆)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
　 　
推论4：圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角.
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　 　 即:在⊙中，∵四边形是内接四边形
　　 　 　　 ∴　
　
推论5:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理．
四、 三角形外接圆和内切圆
（1）三角形的外接圆
①过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
②经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
③三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，任何一个三角形都有且只有一个外心。
④锐角三角形的外心在三角形的内部；
直角三角形的外心是斜边的中点;
钝角三角形的外心在三角形的外部。
（2)三角形的内切圆及有关计算
①与三角形各边都想切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
②三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等。
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任何一个三角形都有且只有一个内心,三角形的内心在三角形的内部。
　　 　　 　　
③△ＡＢＣ中，∠C＝9０°，AＣ＝ｂ，ＢC=a，AB＝c,则内切圆的半径ｒ=　。
④S△ABC=,其中a，ｂ,ｃ是边长，r是内切圆的半径。
五、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
（1)点与圆的位置关系
1、点在圆内　 　点在圆内；
2、点在圆上　 　　 点在圆上；
3、点在圆外 　　 　　点在圆外;
(２）直线与圆的位置关系
１、直线与圆相离 　 无交点；
2、直线与圆相切　 　有一个交点；
3、直线与圆相交 　 有两个交点；
(3）圆与圆的位置关系
外离(图１）　 无交点 　　 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3）　有两个交点　　；
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内切(图4） 有一个交点　 ;
内含（图5） 　 无交点 　 ；
　 　　 　　　 　　 　
六、切线的性质与判定定理
（1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线;
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可