一元二次函数总结计划.docx

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一元二次函数的图象
一、 定义：
一般地，如果y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的一元二
次函数. 其中，x是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系
数和常数项。
二、一元二次函数 y＝ax2＋bx＋c﹙a≠0﹚的图象(其
中a,b,c均为常数)
当a＞0时
函数图象开口向上；
对称轴为x＝﹣2a／b，有最小值且为﹙4ac－b2﹚／4a；
当x∈﹙﹣∞,﹣2a／b]时递减；当x∈[﹣2a／b,﹢∞﹚时递增；
当a＜0时
函数图象开口向下；
对称轴为x＝﹣2a／b，有最大值且为﹙4ac－b2﹚／4a；当x∈﹙﹣∞,﹣2a／b]时递增；当x∈[﹣2a／b,﹢∞﹚时递减；
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2.△＝b2－4ac
当△＞0时，函数图象与x轴有两个交点；
当△＝0时，函数图象与x轴只有一个交点；
当△＜0时，函数图象与x轴没有交点。
(如下图所示)
三、抛物线y ax2 bx c中，a,b,c的作用
a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.
例1：画出y
1
x2
yx2
y2x2的图象
2
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2
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y
1x2
y2x2
yx2
2
归纳：一般地，抛物线y
ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，当a
0时，抛物
线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a 0时，
抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点， a越大，抛物线的开口越大。
b和a共同决定抛物线对称轴的位置
1
(x1)
2
，y
1
2
的图象，考虑他们的开口方向、
例2：画出二次函数y
（x
1)
2
2
对称轴和顶点。
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1
2
y
1
2
y(x
1)
（x
1)
2
1
2
可以看出，抛物线y
(x1)2的开口向下，对称轴是进过点（
-1,0）且与x轴
2
1
垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线y
2
的开口向下，对
（x1)
2
称轴是x=1，顶点是（1,0）。
例3：画出函数y
1(x
1)21的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。
2
抛物线y
1x2经过怎样的变换可以得到抛物线
y
1(x1)2
1？
2
2
抛物线y 1(x1)21的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1，-1）。
2
把抛物线y 1x2向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线
2
1(x1)21。
2
归纳：一般地，抛物线ya(xh)2
k与y
ax2形状相同，位置不同。把抛物
线yax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线ya(xh)2
k。平移的
方向、距离要根据h，k的值来决定。
抛物线y a(x h)2 k有如下特点：
（1）当a 0时，抛物线的开口向上；当 a 0时，抛物线的开口向下；
（2）对称轴是直线x=h；
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（3）顶点坐标是（h，k）
例4：画出y 1x26x21的图象
2
归纳：一般地，可以用配方法求抛物线
yax2
bxc(a
0)的顶点与对称轴
y
ax2
bx
ca(x
b)2
4ac
b2
2a
4a
因此，抛物线yax2
bx
c的对称轴是x
b，顶点坐标是