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比大小问题 · 技法大总结 bilibili ID：wjcwinmt 群号：659081114
比大小问题 · 技法大总结
“比大小问题”深受命题人喜爱，几乎年年出现在高考卷选择题部分，有时甚至还会以压
轴大题的形式出现。近年来，在模考卷和高考卷中，此类问题的“精度”要求变得越来越高，
意味着难度也越来越大，为此，笔者作出了如下不成熟的总结（基本函数的相关知识与常规
变形等不再赘述），在此分享交流，望各位补充指正。
一、粗略估计范围
能通过“粗略估计范围”得到大小关系的题目就纯属送分题了，考察对基本函数值域的掌握。

【例】请比较 log3 2,2 ,log 3 的大小.

【解】 log3 2 (0,1),2  1,log 3  0 ，故 3 log 3 2 2 .
二、利用单调性比大小（构造函数）
能直接用“基本函数的单调性”比大小的题目也是送分题，同样考察对基本函数的掌握。
稍难一些地，通过“构造函数”后再利用单调性比大小的题目，也是必须掌握的。
【例】请比较 , , , 的大小.
【解】 fx( )= 为 R 上的单调递减函数，所以  .
fx( )= 为 R 上的单调递减函数，所以  .
f() x= 为 R 上的单调递增函数，所以  .
f() x= 为 R+ 上的单调递增函数，所以  .
可得：  . 接下来需要比较 与 的大小即可.
1
构造 f() x== xx e xln x ， f'( x )=+ exxln (ln x 1) ，故 fx()在 (0, ) 上单调递减，在
e
1 1
( ,+ ) 上单调递增，而  ，因此  .
e e
此外，若对 x x 感到较为奇怪，可同取对数，转为比较 , 的大小关系，
构造 xxln 即可，本质是一样的.
综上：    .
ln 2 ln 3 1
【TIP】若比较 ,,的大小呢？
23e
1 ln e ln x
【答】注意到： = ，因此直接构造函数 后利用单调性即可比较.
ee x
三、作差法
“作差法”是最基本的方法，但并不代表它只能用在一些简单的题目上，恰恰它是适用范围最
广的方法之一，可千万不能忘记使用，如下例。
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【例】请比较 2ln , , 的大小.