中考九年级证明圆的切线例题方法计划.docx

中考九年级证明圆的切线例题方法计划.docx精品文档
精品文档
1
精品文档
,.
切线证明法
一、若直线 l过⊙O上某一点 A，证明l是⊙O的切线，只需连 OA，证明OA⊥l
就行了，简称“连半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直 .
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，
B为切点的切线交 OD延长线于 F.
求证：EF与⊙O相切.
证明：连结OE，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=BC，
∴∠3=∠4.
⌒ ⌒
∴BD=DE，∠1=∠2.
又∵OB=OE，OF=OF，
∴△BOF≌△EOF（SAS）.
∴∠OBF=∠OEF.
∵BF与⊙O相切，
∴OB⊥BF.
∴∠OEF=900.
精品文档
精品文档
27
精品文档
,.
∴EF与⊙O相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且 PA=PD.
求证：PA与⊙O相切.
证明一：作直径AE，连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD，
∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB，
∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E，
∴∠1=∠E
精品文档
精品文档
3
精品文档
,.
∵AE是⊙O的直径，
∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.
∴∠1+∠EAC=900.
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.
∵AD是∠BAC的平分线，
⌒ ⌒
∴BE=CE，
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE，
∴∠E=∠1.
∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切
精品文档
精品文档
4
精品文档
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 .
精品文档
精品文档
27
精品文档
,.
例3如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切.
证明一：连结OD.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵OB=OD，
∴∠1=∠B.
精品文档
精品文档
6
精品文档
∴∠1=∠C.
∴OD∥AC.
∵DM⊥AC，

D
精品文档
精品文档
27
精品文档
∴DM⊥OD.
∴DM与⊙O相切
证明二：连结OD，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=AC,
∴∠1=∠2.
∵DM⊥AC，
精品文档
精品文档
27
精品文档
∴∠2+∠4=900
精品文档
精品文档
27
精品文档
,.
∵OA=OD ， C
∴∠1=∠3.
∴∠3+∠4=900.
即OD⊥DM.
∴DM是⊙O的切线
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的 .证明二是通过证两角互余证明垂直的，
解题中注意充分利用已知及图上已知.
例4如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30
0，BD=OB，
D在AB的延长线上.
求证：DC是⊙O的切线
证明：连结OC、BC.
∵OA=OC，
∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600.
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形.
∴OB=BC.
D
∵OB=BD，
精品文档
精品文档
10
精品文档
∴OB=BC=BD.
精品文档
精品文档
27
精品文档
,.
∴OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线.
说明：此题是根据圆周角定理的推论 3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法
较好.
例5如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.
求证：PC是⊙O的切线.
证明：连结OC
∵OA2=OD·OP，OA=OC，
∴OC2=OD·OP，
OC OP
.
OD OC
又∵∠1=∠1，
∴△OCP∽△ODC.
∴∠OCP=∠ODC.
∵CD⊥AB，
∴∠OCP=900.
∴PC是⊙O的切线.
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点， AG交BD于E，交CD于
精品文档
精品文档
12