青蛙过河
快速排序
分书问题
第七讲 递归算法举例
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递 归 算 法 举 例 ——青蛙过河
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讨论问题——青蛙过河
该题是2000年全国青少年信息学奥林匹克的一道试题。叙述如下：
一条小溪尺寸不大，青蛙可以从左岸跳到右岸，在左岸有一石柱L，面积只容得下一只青蛙落脚，同样右岸也有一石柱R，面积也只容得下一只青蛙落脚。有一队青蛙从尺寸上一个比一个小。我们将青蛙从小到大，用1，2，…，n编号。规定初始时这队青蛙只能趴在左岸的石头L上，当然是一个落一个，小的落在大的上面。不允许大的在小的上面。在小溪中有S个石柱，有y片荷叶，规定溪中的柱子上允许一只青蛙落脚，如有多只同样要求一个落一个，大的在下，小的在上。对于荷叶只允许一只青蛙落脚，不允许多只在其上。对于右岸的石柱R，与左岸的石柱L一样允许多个青蛙落脚，但须一个落一个，小的在上，大的在下。当青蛙从左岸的L上跳走后就不允许再跳回来；同样，从左岸L上跳至右岸R，或从溪中荷叶或溪中石柱跳至右岸R上的青蛙也不允许再离开。问在已知溪中有S根石柱和y片荷叶的情况下，最多能跳过多少只青蛙？
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这题看起来较难，但是如果我们认真分析，理出思路，就可化难为易。
思路：
1、简化问题，探索规律。先从个别再到一般，要善于对多个因素作分解，孤立出一个一个因素来分析，化难为易。
2. 定义函数
Jump(S,y) —— 最多可跳过河的青蛙数
其中： S —— 河中柱子数
y —— 荷叶数
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3. 先看简单情况，河中无柱子：S=0，
Jump(0,y)
当y=1时，Jump(0,1)=2；
说明：河中有一片荷叶，可以过两只青蛙，起始时L上有两只青蛙，1#在2#上面。
第一步：1# 跳到荷叶上；
第二步：2# 从L直接跳至R上；
第三步：1# 再从荷叶跳至R上。
如下图：
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当y=2时，
Jump(0,2)=3；
说明：河中有两片荷叶时，可以过3只青蛙。起始时：
1#，2#，3# 3只青蛙落在L上，
第一步：1# 从L跳至叶 1上，
第二步：2# 从L跳至叶 2上，
第三步：3# 从L直接跳至R上，
第四步：2# 从叶2跳至R上，
第五步：1# 从叶1跳至R上，
采用归纳法：Jump(0,y)=y+1；
意思是：在河中没有石柱的情况下，过河的青蛙数仅取决于荷叶数，数目是荷叶数+1。
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再看Jump(S, y) 先看一个最简单情况： S=1，y=1。
从图上看出需要9步，跳过4只青蛙。
1# 青蛙从 L －> Y； 2# 青蛙从 L －> S； 1# 青蛙从 Y －> S； 3# 青蛙从 L －> Y； 4# 青蛙从 L －> R； 3# 青蛙从 Y －> R； 1# 青蛙从 S －> Y； 2# 青蛙从 S －> R； 1# 青蛙从 Y －> R；
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t
L
S
Y
R
L4
L3
L2
L1
S2
S1
R4
R3
R2
R1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 4 4 4 4
3 3 3 3
2 2
1
2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 3 1 1
4 4 4 4 4
3 3 3 3
2 2
1
表一
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为了将过河过程描述得更清楚，我们给出了表1。表中L1 L2 L3 L4表示左岸石柱上落在一起的青蛙的高度位置。L1 在最上面，L4 在最下面的位置。引入这个信息就可比较容易地看出对青蛙占位的约束条件。同理R1 R2 R3 R4也是如此。对水中石柱S，也分成两个高度位置S1 S2。对荷叶Y无须分层，因为它只允许一只青蛙落在其上。t=0为初始时刻，青蛙从小到大落在石柱L上。t=1为第一步：1#从L跳至荷叶Y上；L上只剩2# 3# 4#。T=2 为第二步；2#从L跳至石柱S上，处在S2位置上，L上只剩3#和4#。T=3为第三步，1#从Y跳至S，将Y清空。这时你看，S上有1#、2#，L上有3#、4#，好象是原来在L上的4只青蛙，分成了上下两部分，上面的2只通过荷叶y转移到了S上。这一过程是一分为二的过程。即将L上的一队青蛙，分解为两个队，每队各二只，且将上面的二只转移到了S上。这是我们可以考虑形成两个系统，一个是L，Y，R系统，一个是S，Y，R系统。前者二只青蛙号大；后者二只青蛙号小。先跳号大的，再跳号小的。从第五步到第九步可以看出的确是这么做的。
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