单摆-弹簧问题.docx

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单摆
单摆是一种简谐运动，其运动的周期公式为，关于单摆有如下等效问题：
 　　一、等效摆长
 　　例1　如图1所示，三根细线于O点处打结，两根细线的另一端均固定在同一水平面上相距L的A、B两点上，使△ABO成直角三角形，∠BAO=30°。已知OC线长为L，下端C点系着一个小球，下列说法正确的是（　　）
 
 A．让小球在纸面内振动，其周期 　B．让小球在纸面内振动，其周期
 C．让小球在垂直纸面方向振动，其周期D．让小球在垂直纸面方向振动，其周期
 
　　解析：让小球在纸面内摆动，在摆角很小时，单摆以O点为圆心，摆长为L，周期为： 。
 　　让摆球在垂直纸面内摆动，摆球以OC的延长线与AB的交点为中心摆动，摆长为；
 　　，周期为：。
 　　故正确的选项为A。
 　　点评：关于等效摆长的求解，首先是确定等效悬点，再求出等效悬点到摆球重心的距离。
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 　　二、等效重力加速度
 　　例2　光滑斜面倾角为θ，斜面上有一辆挂有单摆的小车，如图2所示，在小车下滑过程中单摆同时摆动，已知摆长为L，求单摆作简谐运动的周期。
 
 　　解析：单摆不摆动时，与小车相对静止一起沿斜面向下作加速运动，加速度为，悬线与斜面垂直，如图3所示，此时悬线拉力为：
 　　
 
 　　故单摆做简谐运动时的等效重力加速度
 　　故作简谐运动的周期为。
 　　点评：关于等效重力加速度的求解，先确定等效平衡位置，再利用在等效平衡位置时，处于相对静止状态时悬线的拉力F求出等效重力加速度。如单摆处于向上加速（或向下减速）及向下加速（或向上减速）的状态时，等效重力加速度。
 　　三、等效运动
 　　例3　如图4所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A、B、C三点同时由静止释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D。其中甲是从圆心A出发做自由落体运动；乙沿弦轨道从一端B到达另一端D；丙沿圆弧轨道从C点运动到D，且C点很靠近D点。如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（    ）
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 A．甲球最先到达D点，乙球最后到达D点 B．甲球最先到达D点，丙球最后到达D点
 C．丙球最先到达D点，乙球最后到达D点 D．甲球最先到达D点，无法判断哪个球最后到达D点
 　　解析：设圆的半径为R，甲球做自由落体运动，到达D点的时间为；乙沿弦轨道作加速运动，利用等时圆性质可得到达D点的时间为；丙沿圆弧轨道运动，其运动等效为单摆运动，到达D点时间为，它们三者的时间关系为tB＞tC＞tA，则甲球最先到达D点，乙球最后到达D点，故正确的选项为A。
 　　点评：当质点沿圆弧运动时，圆的半径远大于圆弧的长度，运动的圆心角小于10度，其运动可等效为单摆。
弹簧问题
一、弹簧弹力大小问题
 　　弹簧弹力的大小可根据胡克定律计算（在弹性限度内），即F=kx，其中x是弹簧的形变量（与原长相比的伸长量或缩短量，不是弹簧的实际长度）。
  例1．质量分别为m和2m的小球P、Q用细线相连，P用轻弹簧悬挂在天花板下，开始系统处于静止。下列说法中正确的是
 A．若突然剪断细线，则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为g
 　　B．若突然剪断细线，则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为0和g
 　　C．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为g
 　　D．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为3g和0
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 　　分析与解：剪断细线瞬间，细线拉力突然变为零，弹簧对P的拉力仍为3mg竖直向上，因此剪断瞬间P的加速度为向上2g，而Q的加速度为向下g；剪断弹簧瞬间，弹簧弹力突然变为零，细线对P、Q的拉力也立即变为零，因此P、Q的加速度均为竖直向下，大小均为g。选C。
 　　例2．如图所示，小球P、Q质量均为m，分别用轻弹簧b和细线c悬挂在天花板下，再用另一细线d、e与左边的固定墙相连，静止时细线d、e水平，b、c与竖直方向夹角均为θ=37?。下列判断正确的是
 
　　A．剪断d瞬间P的加