均值不等式.pdf

2010 年第 7 期 　　　　　　　　　　　　中学数学月刊 　　　　　　　　　　　　　　　 · 41 ·
3
均 　值 　不 　等 　式
蔡玉书 　(江苏省苏州市第一中学 　215006)
　　均值不等式是一个重要的不等式 , 它结构对称而美观 , 并且越来越多地出现在国内外数学竞赛试题中.
灵活而巧妙地应用均值不等式 ,可使一些看似复杂的问题迎刃而解.
1 　基本工具
a1 + a2 + ⋯ + an n
定理 1 　设 a1 , a2 , ⋯, an 都是正数 , 则 ≥ a1 a2 ⋯an . 等号成立当且仅当 a1 = a2 =
n
⋯ = an .
此定理通常称为均值不等式 ,又称算术几何平均值不等式( AM - GM 不等式) .
n n n
定理 2 　设 a1 , a2 , ⋯, an 都是正数 ,则 a1 + a2 + ⋯ + an ≥ na1 a2 ⋯an .
2 　例题讲解
1 1 1 4
例 1 　设 x , y , z 是两两不等的非负实数 ,证明 : + + ≥ .
( x - y) 2 ( y - z) 2 ( z - x) 2 xy + yz + zx
(2008 年越