初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑾.doc

: .
初一数学竞赛讲座
第11讲染色和赋值
染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而 言，染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡 是能用染色方法来解的题，一般地都可以用赋值方法来解，只需将染成某一种 颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些， 我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值，然后利用这些数值的大小、正 负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。 TIBnOwpFFF
一、染色法
将问题中的对象适当进行染色，有利于我们观察、分析对象之间的关系。 像国际象棋的棋盘那样，我们可以把被研究的对象染上不同的颜色，许多隐藏 的关系会变得明朗，再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决，这种解题 方法称为染色法。常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区 域染色。TIBnOwpFFF
例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片 ＜如下图所示），能否 覆盖一个8X 8的棋盘？
# / 10
# / 10
解：如下图，将8 X 8的棋盘染成黑白相间的形状。如果 15个“T”字形
纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个 8X8的棋盘，那么它们覆盖住的白格 数和黑格数都应该是 32个，但是每个“ T”字形纸片只能覆盖1个或3个白 格，而1和3都是奇数，因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数； 又每个“田”字形纸片一定覆盖 2个白格，从而15个“T”字形纸片与1个
“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数，这与 32是偶数矛盾，因此，用它们不
能覆盖整个棋盘。T1BnOwpFFF
例2如左下图，把正方体分割成 27个相等的小正方体，在中心的那个小
正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的 6个小
正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲 虫能走遍所有的正方体吗？ T1BnOwpFFF
/~77—7
解：甲虫不能走遍所有的正方体。我们如右上图将正方体分割成 27个小正
方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相 邻的小正方体染上不同的颜色。显然，在 27个小正方体中，14个是黑的，13
个是白的。甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜 色。故它走27步，应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体。因 此在27步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次。由此可见，如果要求甲虫 到每一个小正方体只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小正方体。 T1BnOwpFFF
例38 X8的国际象棋棋盘能不能被剪成 7个2X2的正方形和9个4X 1的 长方形？如果可以，请给出一种剪法；如果不行，请说明理由。 T1BnOwpFFF
解：如下图，对8X 8的棋盘染色，则每一个4X1的长方形能盖住2白2 黑小方格，每一个2X2的正方形能盖住1白3黑或3白1黑小方格。推知7个 正方形盖住的黑格总数是一个奇数，但图中的黑格数为 32,是一个偶数，故这
种剪法是不存在的。T1BnOwpFF