matlab非线性方程求解.docx

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非线性方程的解法
1引 言
数学物理中的许多问题归结为解函数方程的问题，即，
f(x) 0 ()
这里，f(x)可以是代数多项式，也可以是超越函数。若有数 X*为方程f(x) 0的根，或称函
数 f (x) 的零点。
设函数f(x)在[a,b]内连续，且f (a)f(b) 0。根据连续函数的性质知道，方程f(x) 0在
区间 [a,b] 内至少有一个实根；我们又知道，方程 f(x) 0的根，除了极少简单方程的根可以
用解析式表达外，一般方程的根很难用一个式子表达。即使能表示成解析式的，往往也很复
杂，不便计算。所以，具体求根时，一般先寻求根的某一个初始近似值，然后再将初始近似
值逐步加工成满足精度要求为止。
如何寻求根的初始值呢？简单述之，为了明确起见，不妨设 f(x) 在区间 [a,b] 内有一个实
的单根，且f(a) 0, f(b) 0o我们从左端出点x0 a出发，按某一预定的步长h一步一步地 向右跨，每跨一步进行一次根的 搜索”，即检查每一步的起点xk和xki(即，xk h)的函数值 是否同号。若有：
f(xk)* f(xk h) 0 ()
那么所求的根必在(x^xk h)内，这时可取xk或xk h作为根的初始近似值。这种方法通常称 为 “定步长搜索法 ” 。另外，还是图解法、近似方程法和解析法。
2 迭代法
迭代法的一般概念
迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求
特征值等方面。迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。首先取一个精糙的近似值，然后
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用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止。
对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性天收敛速
度以及误差估计。这里，主要看看解方程迭代式的构造。
对方程 ()，在区间 [a,b] 内，可改写成为：
x (x)
取 x0 [a, b] ，用递推公式：
xk 1 (xk), k 0,1,2,
可得到序列：
x0, x1 ,x2, xk, {xk}k 0
()
()
()
当k 时，序列{xjko有极限~ ,且 他)在~附近连续，则在式()两边极限，得,
x~ (x~)
即，~为方程()的根。由于方式()和方程()等价，所以,
*
xx
即，
*
lim xk x k
式()称为迭代式，也称为迭代公式； (x) 可称为迭代函数。称求得的序列 {xk}k 0为迭代序
列。
程序和实例
下面是基于 MATLAB 的迭代法程序，用迭代格式 pn 1 g(xn) ，求解方程 x g(x) ，其中
初始值为 p0 。
**************************************************************************
function[p,k,err,P]=fixpt(f1021,p0,tol,max1)
% f1021 是给定的迭代函数。
% p0 是给定的初始值。
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% tol 是给定的误差界。
% max1 是所允许的最大迭代次数。
% k 是所进行的迭代次数加 1。
% p 是不动点的近似值。
% err 是误差。
% P = {p1,p2,…,pn}
P(1) = p0;
for k = 2:max1
P(k) = feval('f1021', P(k-1));
k, err = abs(P(k) - P(k-1))
p = P(k);
if(err<tol),
break;
end
if k == max1
disp('maximum number of iterations exceeded');
end
end
P=P;
****************************************************************************
例 用上述程序求方程 sin x x2 0 的一个近似解，给定初始值 x0 ，误差界为
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解： 先用 m 文件先定义一个名为 的函数文件。
function y = f1021(x)
y = sin(x)/x;
建立一个主程序
clc
clear all
fixpt( 'f1021' ,,10A(-5),20)
然后在 MATLAB 命令窗口运行上述主程序，即：
>> prog1021
计算结果如下。
k =