(完整版)求三角函数的单调性的基本方法[推荐].doc

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求三角函数的单调性的基本方法:
函数y Asin( x ) k的单调区间的确定，首先要看 A、®是否为正,
若3为负，则先应用诱导公式化为正，然后将 3X©看作一个整体，化为最简
3 式，再结合 A的正负，在2k x 2k ,k z和2k x 2k ,k z
2 2 2 2
两个区间内分别确定函数的单调增减区间。
1、求函数y sin(3 2X)在区间［-2n, 2n ］的单调增区间。
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数 (y Asin( x ),A 0, 0)
的形式：
y sin（3 -x）
sin（2x 卫
⑵把标准函数转化为最简函数(y Asinx)
1 1 、
z x y si n(—x —)
令 2 3，原函数变为 2 3
⑶讨论最简函数y sinZ的单调性： 从函数y sin Z的图像可以看出，y
[2 k -,2k
2
3]
即2K J
1
—X
2
3
.4K -
… 3
X
4K
K
。所以2K — z
3
2K
匚 K
2
11
3
,K
的形式：
si nz
■
sin z的单调增区间为
2K - K
2 ，
⑷计算k=0,k= 士 1时的单调增区间:
11
当k=0时，3
当k=1时，
22
23
7
当k=-1时，3
⑸在要求的区间内［-2 n , 2n ］确定函数的最终单调增区间:
因为x ［ 2 ,2 ］，所以该函数的单调增区间为
1 5
3
#
x
#
x
2、求函数y 2sin(6 2x)在区间［0 , n ］的单调增区间
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数(y Asin( x ),A 0, 0)
的形式：
y sin( 2x) sin(2x )
Asinx)的形式:
6 6
⑵把标准函数转化为最简函数(y
2x
6，原函数变为
sin(2x -)
sinz
#
⑶讨论最简函数y sin z的单调性：
・ ・
从函数y sinz的图像可以看出，y sinz的单调增区间为
3 3
[2k —,2k - ] K 。所以 2K z 2K ，K
2 2 ， 2 2
即 2K — 2x — 2K — K
2 6 2 '
1 5
K — x K — K 3 6 '
⑷计算k=0,k= 士 1时的单调增区间：
1 5
当 k=o 时，3 x
4 11 当 k=1 时，3 x §
2 1
当 k=-1 时， x -
3 6
⑸在要求的区间内[0, n ]确定函数的最终单调增区间：
1 5
因为x [0,]，所以该函数的单调增区间为3 x g
#
Sin Z的单调增区间为
11
3
⑷在要求的区间内［-2 n ,
2 n ］确定函数的最终单调增区间:
3、求函数y sn2x 3）在区间［-2 n , 2n ］的单调增区间。 解：⑴把标准函数转化为最简函数（y Asinx）的形式:
1 1
z x y sin（—x ） sinz
令 2 3，原函数变为 2 3
⑵讨论最简函数y SinZ的单调性：
从函数y SinZ的图像可以看出，y
2K
Z
2K
K 。
2
2，
即2K
1
x —
2 2 3
2K 一 K
2， K
4K
5
x 4K
1
- K
3
3 ，
⑶计算k=O,k= 士 1时的单调增区间:
5 1
当 k=0 时，3 x 3
7 13
当 k=1 时，3 x 7
17
当k=-1时，才 x
又因为X ［ 2 ,2 ］，所以该函数的单调增区间为
5 1
x -
3 3
#
4、求函数y 2cos(§ 2x) 1在区间［-n, n ］的单调增区间
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数 (y Acos( x ),A 0, 0)
的形式：
y 2cos( 2x) 1 2cos(2x ) 1
3 3
y A cos x K
⑵把标准函数转化为最简函数( )的形式:
A z 2x y 2cos(2x ) 1 2cosz 1
令 3，原函数变为 3
⑶讨论最简函数y 2c0S Z 1的单调性：
y 2cos z 1 y 2cos z 1
从函数 的图像可以看出， 的单调增区间
为［2k ,2k ］，