函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.doc

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函数对称性、周期性和奇偶性
关岭民中数学组
(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：(奇偶性是一种特殊的对称性)
1、 奇偶性：(1)奇函数关于(0，0)对称，奇函数有关系式f(x) • f( —x) =0
(2) 偶函数关于y (即x=0)轴对称，偶函数有关系式 f(-x)二f (x)
For pers onal use only in study and research; not for commercial use
2、 奇偶性的拓展：同一函数的对称性
(1) 函数的轴对称：
函数 y = f (x)关于 x = a 对称二 f (a • x) = f (a - x)
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use
f (a x) = f (a -x)也可以写成 f (x) = f (2a -x)或 f (-x) = f (2a x)
若写成：
f (a • x)二f (b - x)，贝U函数y = f (x)关于直线
=(a x) (b-x) 对称
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证明：设点(x「％)在y = f (x)上，通过f (x)二f (2a - x)可知， 力=f (为)=f (2a _xj，即点(2a -为『)也在y = f (x)上，而点 (x「yj与点(2a -x^yj关于x=a对称。得证。
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说明：关于x二a对称要求横坐标之和为2a，纵坐标相等。
T @必,％)与(a-%,%)关于x二a对称，二函数y=f(x)关于x = a对称
=f (a x) = f (a _ x)
t(X1,yj与(2a-捲，％)关于x = a对称，二函数 y=f(x)关于x = a对称
二 f(x)二 f(2a -x)
T (-Xi,yJ与(2a - Xi,yJ关于x = a对称，二函数y二f (x)关于x二a对称 二 f (-X)= f (2a x)
(2) 函数的点对称：
函数 y 二 f (x)关于点(a,b)对称=f (a • x) • f (a 一 x) = 2b
上述关系也可以写成 f (2a x) • f (_x) =2b 或 f(2a_x) f(x)=2b
若写成：f (a • x) • f(b — x) =c，函数y = f (x)关于点(-b ,-)对称
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证明：设点(x1, yj 在 y = f (x)上，即卩 y^ f (x1)，通过 f (2a -x) • f (x) = 2b 可知,f (2a _Xi) f (xj = 2b，所以 f (2a - Xi) = 2b - f (Xi) = 2b - y，所以点 (2a - Xi,2b - yi)也在 y = f (x)上，而点(2a - x ,2b - yj 与(x「yj 关于(a,b)对称 得证。
说明：关于点(a,b)对称要求横坐标之和为