高中数学关于球内切外接问题.doc

高中数学关于球内切外接问题
高中数学关于球内切外接问题
高中数学关于球内切外接问题
处理球的“内切”“外接”问题
　 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，,明确切点和接点的位置及球心的位置,画好截面图是关键,可使这类问题迎刃而解。
一、棱锥的内切、外接球问题
图1
？
分析:运用正四面体的二心合一性质,作出截面图，通过点、线、面关系解之。
解：如图1所示，设点是内切球的球心,,,外接球半径为.
正四面体的表面积．
正四面体的体积
,
在中，,即,得，得
【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点,即内切球的半径为 （ 为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。
例２。设棱锥的底面是正方形,且,,如果的面积为１,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径。
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图2
解: 平面,
由此,,
从而。平面,
设球是与平面、平面、平面都相切的球。如图2,得截面图及内切圆
不妨设平面,于是是的内心。
设球的半径为,则,设，.
，
当且仅当,即时,等号成立。
∴当时,满足条件的球最大半径为.
练习：一个正四面体内切球的表面积为,求正四面体的棱长。(答案为：）
【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置,作出截面图是解题的关键。
图3
图4
图5
二、球与棱柱的组合体问题
正方体的内切球：
球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为,球半径为。
如图３，截面图为正方形的内切圆,得;
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与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点，如图4作截面图,圆为正方形的外接圆,易得。
正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上,如图５，以对角面作截面图得,圆为矩形的外接圆,易得。
、、、．如果、、两两互相垂直，且，那么这个球的表面积是＿____＿．
解：由已知可得、、实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱,正方体的对角线长就是球的直径，连结过点的一条对角线,则过球心，对角线
练习